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指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

次の式の値を求めよ。 $2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4$

この問題で使うもの

対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

対数の性質（べき・商）を使って、式を $1$ つの対数 $lo g_{3} (\cdot)$ にまとめましょう。

ヒント 2

$k lo g_{a} M = lo g_{a} M^{k}$ と $lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}$ を使います。

ヒント 3

$2 lo g_{3} 6 = lo g_{3} 36$ なので、与式は $lo g_{3} \frac{36}{4} = lo g_{3} 9$ になります。あとは $9$ が $3$ の何乗かを考えましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

対数の性質を使って、式を $1$ つの対数にまとめます。 $M > 0, N > 0$ のとき、次が成り立ちます。
$k lo g_{a} M = lo g_{a} M^{k}, lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}$

手順1（べきの性質） 係数の $2$ を真数の指数に移します。
$2 lo g_{3} 6 = lo g_{3} 6^{2} = lo g_{3} 36$

手順2（商の性質） 差を $1$ つの対数にまとめます。
$lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{36}{4} = lo g_{3} 9$

手順3（対数の定義） $9 = 3^{2}$ なので、定義 $lo g_{a} a^{p} = p$ より
$lo g_{3} 9 = lo g_{3} 3^{2} = 2$

よって、求める値は $2$ です。

別解

$2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} 6^{2} - lo g_{3} 4 = lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{36}{4} = lo g_{3} 9 = lo g_{3} 3^{2} = 2$ 。検算： $lo g_{3} 6 = lo g_{3} 2 + 1$ 、 $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ なので、 $2 (lo g_{3} 2 + 1) - 2 lo g_{3} 2 = 2$ となり一致する。

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