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指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

$x$ は $\frac{1}{3} ≦ x ≦ 27$ を満たす実数とする。関数 $y = (lo g_{3} x)^{2} - lo g_{3} x^{4} + 1$ の最大値を求めよ。

この問題で使うもの

対数の置き換えと最大・最小（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「対数の置き換えと最大・最小」を使います。 $t = lo g_{3} x$ とおいて、 $y$ を $t$ の $2$ 次関数に直しましょう。

ヒント 2

$lo g_{3} x^{4} = 4 lo g_{3} x$ です。また、底 $3 > 1$ なので、 $x$ の範囲から $t$ の範囲がそのまま求められます。

ヒント 3

$y = t^{2} - 4 t + 1 = (t - 2)^{2} - 3$ 、 $t$ の範囲は $- 1 ≦ t ≦ 3$ です。あとは軸 $t = 2$ と範囲の両端を比べましょう。

答えと解説

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6

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手順1：置き換える

$t = lo g_{3} x$ とおく。対数の性質 $lo g_{3} x^{4} = 4 lo g_{3} x$ を使うと、関数は次のように $t$ の $2$ 次関数になる。 $y = t^{2} - 4 t + 1$

手順2： $t$ のとりうる値の範囲を求める

底 $3$ は $1$ より大きいので、 $lo g_{3} x$ は $x$ について増加する。 $\frac{1}{3} ≦ x ≦ 27$ の各辺の $3$ を底とする対数をとると $lo g_{3} \frac{1}{3} ≦ lo g_{3} x ≦ lo g_{3} 27$ より、 $- 1 ≦ t ≦ 3$ である。

手順3：定義域つきの $2$ 次関数の最大値を求める

平方完成すると $y = (t - 2)^{2} - 3$ となる。グラフは下に凸の放物線で、軸は $t = 2$ である。

$- 1 ≦ t ≦ 3$ の両端の値を計算する。
- $t = - 1$ のとき、 $y = (- 1)^{2} - 4 \cdot (- 1) + 1 = 1 + 4 + 1 = 6$
- $t = 3$ のとき、 $y = 3^{2} - 4 \cdot 3 + 1 = 9 - 12 + 1 = - 2$

軸 $t = 2$ から遠いのは $t = - 1$ の端なので、最大値は $t = - 1$ のときの $6$ である。

$t = - 1$ は $lo g_{3} x = - 1$ 、すなわち $x = \frac{1}{3}$ のときである。

よって、最大値は $6$ $(x = \frac{1}{3} のとき)$ である。

別解

$t = lo g_{3} x$ とおくと、 $\frac{1}{3} ≦ x ≦ 27$ より $- 1 ≦ t ≦ 3$ 。
$lo g_{3} x^{4} = 4 lo g_{3} x = 4 t$ なので（ $x > 0$ より成り立つ）、
$y = t^{2} - 4 t + 1 = (t - 2)^{2} - 3$ 。
$- 1 ≦ t ≦ 3$ における最大値は、軸 $t = 2$ から遠い端点 $t = - 1$ のとき $y = (- 3)^{2} - 3 = 6$ 。
$t = 3$ のとき $y = 1 - 3 = - 2$ 、 $t = 2$ のとき最小値 $- 3$ 。
検算： $t = - 1$ すなわち $x = \frac{1}{3}$ のとき、 $y = 1 - lo g_{3} \frac{1}{81} + 1 = 1 + 4 + 1 = 6$ 。
よって最大値は $6$ （ $x = \frac{1}{3}$ のとき）。

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