指数関数と対数関数の問題

手順1：対数の性質で式を整理する

$x>0$ なので、対数の性質（べき）より ${\log }_3{x}^4=4{\log }_{3}x$ である。よって
$$y=({\log }_{3}x{)}^2-4{\log }_{3}x+1$$

手順2：置き換えて、新しい文字のとりうる値の範囲を求める

$t={\log }_{3}x$ とおく。底 $3$ は $1$ より大きいので、$y={\log }_{3}x$ は増加関数である。$\frac{1}{3}\leqq x\leqq 27$ の各辺の底 $3$ の対数をとると
$${\log }_3\frac{1}{3}\leqq t\leqq {\log }_{3}27$$
すなわち
$$-1\leqq t\leqq 3$$

手順3：$t$ の 2 次関数として最大値を求める

$$y=t^2-4t+1=(t-2{)}^2-3$$
このグラフは下に凸の放物線で、軸は $t=2$ である。定義域 $-1\leqq t\leqq 3$ の両端での値は
- $t=-1$ のとき $y=(-1-2{)}^2-3=9-3=6$
- $t=3$ のとき $y=(3-2{)}^2-3=1-3=-2$

軸 $t=2$ から遠いのは $t=-1$ の方なので、最大値は $t=-1$ のときの $6$ である。

$t=-1$ のとき ${\log }_{3}x=-1$ より $x=\frac{1}{3}$ である。

したがって、$y$ は $x=\frac{1}{3}$ のとき最大値 $6$ をとる。

$t={\log }_{3}x$ とおく。$\frac{1}{3}\leqq x\leqq 27$ より $-1\leqq t\leqq 3$。
${\log }_3{x}^4=4{\log }_{3}x=4t$（$x>0$ なので成り立つ）。
$y=t^2-4t+1=(t-2{)}^2-3$。
軸は $t=2$ で、区間 $-1\leqq t\leqq 3$ の中にある。下に凸なので、最大値は軸から遠い端点でとる。
$t=-1$ のとき $y=1+4+1=6$。
$t=3$ のとき $y=9-12+1=-2$。
よって最大値は $t=-1$、すなわち $x=\frac{1}{3}$ のときの $6$。
検算：$x=\frac{1}{3}$ のとき ${\log }_{3}x=-1$、${\log }_3{x}^4={\log }_3\frac{1}{81}=-4$。$y=1-(-4)+1=6$。一致する。