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指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

次の式の値を求めよ。 $lo g_{3} 18 + 2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 8$

この問題で使うもの

対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

対数の性質（積・商・べき）を使って、式全体を $lo g_{3} (\cdot)$ の形の $1$ つの対数にまとめよう。

ヒント 2

$k lo g_{a} M = lo g_{a} M^{k}$ を使うと $2 lo g_{3} 6 = lo g_{3} 36$ になる。さらに $lo g_{a} M + lo g_{a} N - lo g_{a} L = lo g_{a} \frac{M N}{L}$ を使おう。

ヒント 3

式は $lo g_{3} \frac{18 \times 36}{8} = lo g_{3} 81$ となる。 $81$ を $3$ の累乗で表してみよう。

答えと解説

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4

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解説を読む

対数の性質を使って、式を $1$ つの対数にまとめます。 $M > 0, N > 0$ のとき、次の性質が成り立ちます。 $lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} M N, lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}, k lo g_{a} M = lo g_{a} M^{k}$

手順1（係数を真数の指数にする） べきの性質を使います。 $2 lo g_{3} 6 = lo g_{3} 6^{2} = lo g_{3} 36$

手順2（和と差を $1$ つにまとめる） 積の性質と商の性質を使います。 $lo g_{3} 18 + lo g_{3} 36 - lo g_{3} 8 = lo g_{3} \frac{18 \times 36}{8}$

手順3（真数を計算する） $18 \times 36 = 648$ なので、 $\frac{648}{8} = 81$ となります。

手順4（定義から値を求める） $81 = 3^{4}$ です。対数の定義から $lo g_{3} 3^{4} = 4$ となります。 $lo g_{3} 81 = lo g_{3} 3^{4} = 4$

よって、求める値は $4$ です。

別解

$lo g_{3} 18 + 2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 8 = lo g_{3} 18 + lo g_{3} 36 - lo g_{3} 8 = lo g_{3} \frac{18 \cdot 36}{8} = lo g_{3} 81 = 4$ 。検算： $18 \cdot 36 = 648$ 、 $648/8 = 81 = 3^{4}$ なので正しい。

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