この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

次の式の値を求めよ。 $lo g_{2} 24 - lo g_{4} 9$

この問題で使うもの

対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

対数の性質（底の変換公式・べき・商）を使います。まず2つの対数の底をそろえましょう。

ヒント 2

底の変換公式 $lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4}$ を使い、 $9 = 3^{2}$ 、 $4 = 2^{2}$ に注目します。

ヒント 3

$lo g_{4} 9 = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ となるので、与式は $lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3$ です。これを商の性質で1つの対数にまとめましょう。

答えと解説

答えを見る

3

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

対数の性質（底の変換・べき・商）を使って計算します。

手順1：底をそろえる（底の変換公式）

$lo g_{2} 24$ と $lo g_{4} 9$ は底が違うので、まず $lo g_{4} 9$ を底 $2$ の対数に直します。底の変換公式 $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ を $c = 2$ として使うと
$lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4}$
となります。

手順2：分母と分子を計算する（定義とべきの性質）

$4 = 2^{2}$ なので、対数の定義から $lo g_{2} 4 = 2$ です。
また $9 = 3^{2}$ なので、べきの性質 $lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$ より $lo g_{2} 9 = lo g_{2} 3^{2} = 2 lo g_{2} 3$ です。よって
$lo g_{4} 9 = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$

手順3：差を1つの対数にまとめる（商の性質）

商の性質 $lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}$ を使うと
$lo g_{2} 24 - lo g_{4} 9 = lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{24}{3} = lo g_{2} 8$

手順4：値を求める（対数の定義）

$8 = 2^{3}$ なので、対数の定義から $lo g_{2} 8 = 3$ です。

したがって、求める値は $3$ です。

別解

$lo g_{4} 9 = \frac{lo g _{2} 9}{lo g _{2} 4} = \frac{2 lo g _{2} 3}{2} = lo g_{2} 3$ 。また $lo g_{2} 24 = lo g_{2} (8 \cdot 3) = 3 + lo g_{2} 3$ 。よって $lo g_{2} 24 - lo g_{4} 9 = 3 + lo g_{2} 3 - lo g_{2} 3 = 3$ 。検算： $lo g_{2} 24 \approx 4.585$ 、 $lo g_{4} 9 \approx 1.585$ 、差は $3$ で一致する。

指数関数と対数関数の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題