指数関数と対数関数の問題

手順 1：${\log }_{a}b$ が有理数になる条件

$a,b\geqq 2$ なので ${\log }_{a}b>0$ である。${\log }_{a}b=\frac{p}{q}$（$p$, $q$ は互いに素な正の整数）とすると、対数の定義から $b=a^{\frac{p}{q}}$、すなわち
$$a^p=b^q$$
である。$a$ を素因数分解したとき素数 $r$ の指数を $\alpha$、$b$ における $r$ の指数を $\beta$ とすると、素因数分解の一意性から $p\alpha =q\beta$。$p$ と $q$ は互いに素なので $\alpha$ は $q$ の倍数で、$\alpha =q\gamma$, $\beta =p\gamma$（$\gamma$ は $0$ 以上の整数）と書ける。そこで $c=\prod r^{\gamma }$ とおくと
$$a=c^q,b=c^p$$
となり、$a$, $b$ は同じ整数 $c(\geqq 2)$ の累乗である。逆に $a=c^i$, $b=c^j$（$i,j$ は正の整数）なら ${\log }_{a}b=\frac{j{\log }_{c}c}{i{\log }_{c}c}=\frac{j}{i}$ で有理数である。

手順 2：グループ分け

2 以上の整数で、ほかの整数の 2 乗以上の累乗として表せないものを「基本数」と呼ぶ。2 以上の整数 $n$ は、$n$ の素因数分解の指数の最大公約数を $d$ として $n=g^d$（$g$ は基本数）とただ 1 通りに表せる。そこで 2 以上 1000 以下の整数を、基本数 $g$ ごとに
$$\{g,g^2,g^3,\dots \}(\leqq 1000)$$
というグループに分ける。各整数はちょうど 1 つのグループに属する。

手順 1 より、$a=c^q$, $b=c^p$ なら、$c=g^e$（$g$ は基本数）として $a=g^{eq}$, $b=g^{ep}$ だから $a$, $b$ は同じグループに属する。逆に同じグループなら ${\log }_{a}b$ は有理数。よって
$${\log }_{a}b\text{が有理数}⟺a,b\text{が同じグループに属する}$$
したがって、求める個数は各グループの要素数の 2 乗の和である。

手順 3：グループの大きさ

要素数が 2 以上のグループは $g^2\leqq 1000$、すなわち $g\leqq 31$ の基本数 $g$ のもの。
- $g=2$：$2,4,\dots ,512$ の $9$ 個（$2^{10}=1024>1000$）
- $g=3$：$3,9,\dots ,729$ の $6$ 個（$3^7=2187$）
- $g=5$：$5,25,125,625$ の $4$ 個
- $g=6$：$6,36,216$ の $3$ 個（$6^4=1296$）
- $g=7$：$7,49,343$ の $3$ 個（$7^4=2401$）
- $g=10$：$10,100,1000$ の $3$ 個
- $11\leqq g\leqq 31$ の基本数（$11$ から $31$ の $21$ 個から $16,25,27$ を除いた $18$ 個）：$g^3\geqq 1331>1000$ なので各 $2$ 個

（$2\leqq g\leqq 10$ のうち $4,8,9$ は基本数でない。）

これらのグループに属する整数は $9+6+4+3+3+3+18\times 2=64$ 個なので、残りの $999-64=935$ 個はそれぞれ要素数 $1$ のグループをなす。

手順 4：数える
$$9^2+6^2+4^2+3^2+3^2+3^2+18\times 2^2+935\times 1^2=81+36+16+27+72+935=1167$$

よって求める個数は $1167$ である。

${\log }_{a}b$ が有理数であるための条件を調べる。$a,b\ge 2$ なので ${\log }_{a}b>0$。${\log }_{a}b=\frac{q}{p}$（$p,q$ は正の整数）なら $a^q=b^p$。素因数分解を考えると、$a,b$ はある整数 $r\ge 2$ を使って $a=r^i,b=r^j$ と書ける（$r$ は完全累乗数でない整数にとれる）。逆にこのとき ${\log }_{a}b=\frac{j}{i}$ は有理数。また完全累乗でない整数 $r,s$ が異なれば $r^i=s^j$ となることはなく、${\log }_{a}b$ は無理数になる。

そこで $2$ 以上 $1000$ 以下の整数を、完全累乗でない整数 $r$ の累乗 $r^1,r^2,\dots ,r^{m(r)}$（$r^{m(r)}\le 1000$）ごとのグループに分ける。同じグループ内の任意の 2 数 $(a,b)$（$a=b$ も含む）は ${\log }_{a}b$ が有理数で、異なるグループの組は無理数。よって求める個数は $\sum m(r{)}^2$。

完全累乗数（$2$ 以上 $1000$ 以下）の個数: 平方数 $2^2,\dots ,31^2$ で $30$ 個、平方数でない立方数は $3^3,2^3,5^3,6^3,7^3,10^3$ など $8,27,125,216,343,512,1000$ の $7$ 個、平方でも立方でもない $5$ 乗数 $32,243$ の $2$ 個、$7$ 乗数 $128$ の $1$ 個で、計 $40$ 個。完全累乗でない整数は $999-40=959$ 個。

• $m(2)=9$（$2^9=512$）、$m(3)=6$（$3^6=729$）、$m(5)=4$（$5^4=625$）、$m(6)=m(7)=m(10)=3$。
• $11\le r\le 31$ で完全累乗でないもの: $21-3=18$ 個（$16,25,27$ を除く）。これらは $m=2$。
• 残りは $m=1$ で、$959-6-18=935$ 個。

（確認: $9+6+4+3+3+3+18\cdot 2+935=999$ で整数の総数に一致。）

求める個数は
$$9^2+6^2+4^2+3^2+3^2+3^2+18\cdot 2^2+935\cdot 1^2=81+36+16+27+72+935=1167.$$