2次関数の問題

$f(x)=x^2+px+q$ とおく。

解の配置の条件　$y=f(x)$ のグラフは下に凸なので、方程式 $f(x)=0$ が $0<x<1$ と $1<x<2$ に 1 つずつ解をもつ条件は $$f(0)=q>0,f(1)=1+p+q<0,f(2)=4+2p+q>0(1)$$ である。

解を使って表す　2 つの解を $\alpha ,\beta$ とすると、条件は $0<\alpha <1,1<\beta <2$ であり、解と係数の関係から $$p=-(\alpha +\beta ),q=\alpha \beta$$ である。逆に、$0<\alpha <1,1<\beta <2$ を満たす任意の実数 $\alpha ,\beta$ に対して $p=-(\alpha +\beta ),q=\alpha \beta$ と定めれば、$x^2+px+q=(x-\alpha )(x-\beta )$ となり条件を満たす。したがって、$p+2q$ のとりうる値は、$\alpha ,\beta$ がこの範囲を自由に動くときの $$p+2q=2\alpha \beta -\alpha -\beta$$ のとりうる値と一致する。

ここで $$(2\alpha -1)(2\beta -1)=4\alpha \beta -2\alpha -2\beta +1$$ だから $$p+2q=\frac{(2\alpha -1)(2\beta -1)-1}{2}$$ と変形できる。$u=2\alpha -1,v=2\beta -1$ とおくと、$u,v$ はそれぞれ $-1<u<1,1<v<3$ を独立に自由に動く。

$v$ を固定すると、$v>0$ より $uv$ は $-v<uv<v$ の範囲のすべての値をとる。$v$ が $1<v<3$ を動くと、これらを合わせて $uv$ は $-3<uv<3$ のすべての値をとる（$-3$ と $3$ はとらない）。

よって $$\frac{-3-1}{2}<p+2q<\frac{3-1}{2}$$ すなわち $$-2<p+2q<1$$

（確認）$(1)$ の 3 つの不等式を使うと $$1-(p+2q)=3\{-(1+p+q)\}+(4+2p+q)>0,$$ $$(p+2q)+2=\frac{3}{2}q+\frac{1}{2}(4+2p+q)>0$$ となり、確かに $-2<p+2q<1$ が成り立つ。

$f(x)=x^2+px+q$ とおく。下に凸の放物線なので、$0<x<1$ と $1<x<2$ に 1 つずつ実数解をもつ条件は $f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0$。すなわち
$q>0,1+p+q<0,4+2p+q>0$。
(逆に $f(1)<0$ なら $f$ は $x=1$ の両側で符号が変わるので、$f(0)>0,f(2)>0$ から各区間にちょうど 1 つ解をもつ。)

$pq$ 平面でこの 3 本の直線 $q=0$, $p+q=-1$, $2p+q=-4$ で囲まれる三角形の内部(境界は含まない)。頂点は $q=0$ と $p+q=-1$ の交点 $(-1,0)$、$q=0$ と $2p+q=-4$ の交点 $(-2,0)$、$p+q=-1$ と $2p+q=-4$ の交点 $(-3,2)$。

$k=p+2q$ とおくと、$k$ は 1 次式なので、三角形の内部での値域は頂点での値の最小と最大の間の開区間。頂点での値は $(-1,0)$ で $-1$、$(-2,0)$ で $-2$、$(-3,2)$ で $-3+4=1$。よって $-2<p+2q<1$。

検算:内部の点 $(p,q)=(-2,0.5)$ ($q>0$、$1-2+0.5=-0.5<0$、$4-4+0.5>0$ で条件を満たす)で $p+2q=-1$ は範囲内。重心 $\left(-2,\frac{2}{3}\right)$ で $p+2q=-\frac{2}{3}$。頂点の値は含まれないので端点は不含。