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2次関数の問題

難易度 3共通テストレベル数学I 2次関数

実数 $x, y$ が $x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} - 4 y - 1 = 0$ を満たしながら動くとき、 $x$ のとりうる値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（26 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

$x$ を定数とみなし、与式を $y$ についての方程式として整理してみましょう。その $x$ に対して実数 $y$ が存在するかどうかを考えます。

ヒント 2

$y$ についての 2 次方程式 $3 y^{2} + (2 x - 4) y + (x^{2} - 1) = 0$ が実数解をもつ条件は、判別式が $D ≧ 0$ となることです。

ヒント 3

$\frac{D}{4} = (x - 2)^{2} - 3 (x^{2} - 1) = - 2 x^{2} - 4 x + 7$ となるので、 $2 x^{2} + 4 x - 7 ≦ 0$ を解けばよいです。

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- 1 - \frac{3 2}{2} ≦ x ≦ - 1 + \frac{3 2}{2}

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解説を読む

$x$ をある実数の値に固定して考えます。このとき、与えられた等式を満たす実数 $y$ が存在すれば、その $x$ の値はとりうる値です。

与式を $y$ について整理すると
$3 y^{2} + (2 x - 4) y + (x^{2} - 1) = 0$
となります。 $y^{2}$ の係数は $3 \neq = 0$ なので、これは $y$ についての 2 次方程式です。

したがって、 $x$ がとりうる値であるための条件は、この 2 次方程式が実数解 $y$ をもつこと、すなわち判別式 $D$ について $D ≧ 0$ となることです。

$\frac{D}{4} = (x - 2)^{2} - 3 (x^{2} - 1)$
を計算すると
$\frac{D}{4} = x^{2} - 4 x + 4 - 3 x^{2} + 3 = - 2 x^{2} - 4 x + 7$
となります。

$D ≧ 0$ より
$- 2 x^{2} - 4 x + 7 ≧ 0, すなわち 2 x^{2} + 4 x - 7 ≦ 0$
です。

$2 x^{2} + 4 x - 7 = 0$ を解くと
$x = \frac{- 4 \pm 16 + 56}{4} = \frac{- 4 \pm 6 2}{4} = - 1 \pm \frac{3 2}{2}$
です。

よって、不等式の解は
$- 1 - \frac{3 2}{2} ≦ x ≦ - 1 + \frac{3 2}{2}$
となります。

端点では $D = 0$ となり、重解 $y = - \frac{2 x - 4}{2 \cdot 3} = \frac{2 - x}{3}$ が実数として存在します。したがって端点の値も実際にとります。

以上より、 $x$ のとりうる値の範囲は
$- 1 - \frac{3 2}{2} ≦ x ≦ - 1 + \frac{3 2}{2}$
です。

別解

与式を $y$ の2次方程式として整理すると $3 y^{2} + (2 x - 4) y + x^{2} - 1 = 0$ となる。 $y$ が実数として存在する条件は、判別式を $D$ として $D \geq 0$ である。

$D = (2 x - 4)^{2} - 12 (x^{2} - 1) = 4 x^{2} - 16 x + 16 - 12 x^{2} + 12 = - 8 x^{2} - 16 x + 28$

$D \geq 0$ より $2 x^{2} + 4 x - 7 \leq 0$ 。

方程式 $2 x^{2} + 4 x - 7 = 0$ の解は $x = \frac{- 4 \pm 16 + 56}{4} = \frac{- 4 \pm 6 2}{4} = - 1 \pm \frac{3 2}{2}$ 。

よって $- 1 - \frac{3 2}{2} \leq x \leq - 1 + \frac{3 2}{2}$ 。

検算：端点 $x = - 1 + \frac{3 2}{2}$ では $D = 0$ となり、重解 $y = \frac{4 - 2 x}{6}$ が実数として存在するので、端点も含まれる。