2次関数の問題

言い換え　$f(f(x))=0$ は「$f(x)$ が方程式 $f(t)=0$ の解である」ということである。

$f(t)=0$ の判別式を $D=p^2-4q$ とする。
- $D<0$ なら $f(t)=0$ は実数解をもたず、$f(f(x))=0$ も実数解をもたない。
- $D=0$ なら $f(t)=0$ の解は $1$ つ（$t=\alpha$）で、$f(f(x))=0$ は $x$ の 2 次方程式 $f(x)=\alpha$ と同じなので、異なる実数解は $2$ 個以下。

よって $D>0$ で、$f(t)=0$ の解を $\alpha <\beta$ とすると、$f(f(x))=0$ は
$$f(x)=\alpha (1)\text{または}f(x)=\beta (2)$$
と同じである。$\alpha \ne \beta$ なので $(1)$ と $(2)$ に共通の解はない。

判別式で個数を数える　$(1)$ は $x^2+px+q-\alpha =0$ で、判別式は $D_1=p^2-4q+4\alpha =D+4\alpha$。同様に $(2)$ の判別式は $D_2=D+4\beta$。$\alpha <\beta$ より $D_1<D_2$ である。

各方程式の異なる実数解の個数は判別式が正なら $2$、$0$ なら $1$、負なら $0$ なので、合計がちょうど $3$ になるのは
$$D_1=0,D_2>0$$
のときに限る（$D_1<D_2$ なので $D_1>0,D_2=0$ は起こらない）。

条件を整理する　$\delta =\frac{\sqrt{D}}{2}>0$ とおくと、$\alpha =-\frac{p}{2}-\delta ,\beta =-\frac{p}{2}+\delta$、$D=4{\delta }^2$ である。$D_1=0$ は
$$4{\delta }^2+4\left(-\frac{p}{2}-\delta \right)=0⟺-\frac{p}{2}=\delta -{\delta }^2$$
となる。このとき $D_2=D_1+4(\beta -\alpha )=8\delta >0$ も成り立つ。逆に、任意の $\delta >0$ に対して $p=2({\delta }^2-\delta ),q=\frac{p^2}{4}-{\delta }^2$ と定めれば条件を満たす。

解の和　$(1)$ の解は重解 $x=-\frac{p}{2}$、$(2)$ の解は
$$x=\frac{-p\pm \sqrt{D_2}}{2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{2\delta }$$
で、これら $3$ つは互いに異なる。よって
$$S=-\frac{p}{2}+\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{2\delta }\right)+\left(-\frac{p}{2}-\sqrt{2\delta }\right)=3\left(-\frac{p}{2}\right)=3(\delta -{\delta }^2)=\frac{3}{4}-3{\left(\delta -\frac{1}{2}\right)}^2.$$
$\delta >0$ の範囲で、$S$ は $\delta =\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{3}{4}$ をとる。

（確認: $\delta =\frac{1}{2}$ のとき $p=-\frac{1}{2},q=-\frac{3}{16}$ で、$f(x)={\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{4}$。$f(t)=0$ の解は $-\frac{1}{4},\frac{3}{4}$。$f(x)=-\frac{1}{4}$ から $x=\frac{1}{4}$、$f(x)=\frac{3}{4}$ から $x=\frac{5}{4},-\frac{3}{4}$。和は $\frac{3}{4}$。）

よって $S$ の最大値は $\frac{3}{4}$ である。

$f(t)=0$ の実数解を $\alpha ,\beta$ とすると、$f(f(x))=0⟺f(x)=\alpha$ または $f(x)=\beta$。$f$ が実数解を持たなければ $f(f(x))=0$ は実数解を持たない。

$\alpha =\beta$ のとき、方程式は $f(x)=\alpha$ 1 本だけで、実数解は高々 2 個なので不適。よって $\alpha <\beta$ （$\Delta =p^2-4q>0$）としてよい。

$f(x)=r$ すなわち $x^2+px+q-r=0$ の判別式は $D=p^2-4q+4r=\Delta +4r$。$\alpha \ne \beta$ なので、$f(x)=\alpha$ と $f(x)=\beta$ の解は互いに異なる。$D_{\alpha }=\Delta +4\alpha <D_{\beta }=\Delta +4\beta$ であり、異なる実数解がちょうど 3 個となるのは、片方が 2 個、もう片方が重解 1 個のときで、それは $D_{\alpha }=0$ かつ $D_{\beta }>0$ のときに限る（$D_{\beta }=0$ なら $D_{\alpha }<0$ で解は 1 個、$D_{\alpha }>0$ なら $D_{\beta }>0$ で 4 個、など）。

$\alpha =\frac{-p-\sqrt{\Delta }}{2}$ なので、$s=\sqrt{\Delta }>0$ とおくと $D_{\alpha }=0$ は $s^2-2p-2s=0$、すなわち $p=\frac{s^2-2s}{2}$。

このとき $f(x)=\alpha$ の重解は $x=-\frac{p}{2}$、$f(x)=\beta$ の 2 解の和は $-p$。したがって $S=-\frac{p}{2}-p=-\frac{3p}{2}$。

$S$ を最大にするには $p$ を最小にすればよい。$p=\frac{(s-1{)}^2-1}{2}$ は $s=1$ で最小値 $-\frac{1}{2}$。このとき $S=\frac{3}{4}$。

$s=1$ のとき $q=\frac{p^2-\Delta }{4}=\frac{\frac{1}{4}-1}{4}=-\frac{3}{16}$ で条件を満たすか確認する。$f(x)=x^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{16}$ の解は $x=\frac{3}{4},-\frac{1}{4}$ で、$\alpha =-\frac{1}{4},\beta =\frac{3}{4}$。
- $f(x)=-\frac{1}{4}$：$x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}={\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2=0$ より $x=\frac{1}{4}$。
- $f(x)=\frac{3}{4}$：$x^2-\frac{1}{2}x-\frac{15}{16}=0$ より $16x^2-8x-15=0$、$(4x-5)(4x+3)=0$ で $x=\frac{5}{4},-\frac{3}{4}$。

異なる実数解は $\frac{1}{4},\frac{5}{4},-\frac{3}{4}$ の 3 個で、和は $\frac{1}{4}+\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$。確かに $S=\frac{3}{4}$ となる。

よって $S$ の最大値は $\frac{3}{4}$。