2次関数の問題

2 次関数 $y=x^2-2x-15$ のグラフを使って考えます。不等式 $x^2-2x-15<0$ を解くことは、グラフが $x$ 軸より下側（$y<0$）にある $x$ の範囲を求めることと同じです。

手順1：グラフの形を調べる

平方完成すると
$$y=x^2-2x-15=(x-1{)}^2-1-15=(x-1{)}^2-16$$
となります。よってグラフは頂点 $(1,-16)$、軸 $x=1$ の放物線で、$x^2$ の係数が正なので下に凸です。頂点の $y$ 座標が負なので、グラフは $x$ 軸と 2 点で交わります。

手順2：$x$ 軸との交点を求める

$y=0$ とおくと
$$x^2-2x-15=0$$
$$(x+3)(x-5)=0$$
$$x=-3,5$$
よって、グラフは $x$ 軸と $x=-3$ と $x=5$ で交わります。

手順3：符号の変化を読む

下に凸の放物線なので、グラフは
- $x<-3$ のとき $x$ 軸より上（$y>0$）
- $-3<x<5$ のとき $x$ 軸より下（$y<0$）
- $x>5$ のとき $x$ 軸より上（$y>0$）

となります。$x=-3,5$ のときは $y=0$ で、$y<0$ を満たしません。

不等式 $x^2-2x-15<0$ は $y<0$ となる範囲なので、求める解は
$$-3<x<5$$
です。

$x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$ より、不等式は $(x+3)(x-5)<0$ となる。よって $-3<x<5$。検算：$x=0$ のとき $-15<0$ で成り立つ。$x=-3$ や $x=5$ のときは左辺が $0$ で不等号 $<$ を満たさず、$x=6$ のとき $36-12-15=9>0$ で成り立たない。したがって解は $-3<x<5$。