2次関数の問題

2 次関数 $y=x^2-2x-8$ のグラフを使って考えます。

手順 1：グラフの形を調べる

平方完成すると
$$y=x^2-2x-8=(x-1{)}^2-1-8=(x-1{)}^2-9$$
となります。グラフは頂点 $(1,-9)$、軸が直線 $x=1$ で、$x^2$ の係数が正なので下に凸の放物線です。頂点の $y$ 座標が負なので、グラフは $x$ 軸と 2 点で交わります。

手順 2：$x$ 軸との交点を求める

$y=0$ とおくと
$$x^2-2x-8=0$$
$$(x+2)(x-4)=0$$
より $x=-2,4$ です。したがって、グラフは $x$ 軸と点 $(-2,0)$、$(4,0)$ で交わります。

手順 3：グラフから $y\leqq 0$ となる $x$ の範囲を読む

下に凸の放物線なので、$y$ の符号は次のように変わります。
- $x<-2$ のとき、グラフは $x$ 軸より上にあり $y>0$
- $x=-2,4$ のとき $y=0$
- $-2<x<4$ のとき、グラフは $x$ 軸より下にあり $y<0$
- $x>4$ のとき、グラフは $x$ 軸より上にあり $y>0$

不等式 $x^2-2x-8\leqq 0$ は「$y\leqq 0$」、つまり「グラフが $x$ 軸上またはそれより下にある」ということです。等号を含むので、交点の $x=-2,4$ も含めます。

よって、求める解は
$$-2\leqq x\leqq 4$$

$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$ と因数分解できる。したがって $(x-4)(x+2)\leqq 0$ となり、$-2\leqq x\leqq 4$ が得られる。検算として、$x=0$ のとき $-8\leqq 0$ で成り立つ。$x=-2$ と $x=4$ のときは左辺が $0$ で成り立つ。$x=5$ のとき $25-10-8=7>0$ で成り立たない。$x=-3$ のとき $9+6-8=7>0$ で成り立たない。よって解は $-2\leqq x\leqq 4$。