2次関数の問題

2 次関数 $y=x^2-2x-8$ のグラフを使って考えます。

手順 1：グラフの形を調べる

平方完成すると
$$y=x^2-2x-8=(x-1{)}^2-1-8=(x-1{)}^2-9$$
となります。グラフは頂点 $(1,-9)$、軸が直線 $x=1$ の放物線です。$x^2$ の係数が正なので、下に凸です。

手順 2：グラフと $x$ 軸の交点を求める

$y=0$ とおいた 2 次方程式 $x^2-2x-8=0$ を解きます。左辺を因数分解すると
$$(x+2)(x-4)=0$$
となるので、$x=-2,4$ です。グラフは $x$ 軸と点 $(-2,0)$、$(4,0)$ で交わります。

手順 3：符号を読み取る

下に凸の放物線なので、$y$ の符号は次のようになります。
- $x<-2$ のとき、グラフは $x$ 軸より上にあり、$y>0$
- $x=-2$ のとき、$y=0$
- $-2<x<4$ のとき、グラフは $x$ 軸より下にあり、$y<0$
- $x=4$ のとき、$y=0$
- $x>4$ のとき、グラフは $x$ 軸より上にあり、$y>0$

手順 4：不等式を満たす範囲を答える

不等式 $x^2-2x-8\leqq 0$ は「$y\leqq 0$」、つまりグラフが $x$ 軸より下にあるか、$x$ 軸上にある部分を表します。不等号に等号が含まれるので、交点 $x=-2,4$ も解に入ります。

よって、求める解は
$$-2\leqq x\leqq 4$$
です。

$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$ なので、不等式は $(x-4)(x+2)\leqq 0$ となる。よって $-2\leqq x\leqq 4$。検算：$x=0$ のとき $-8\leqq 0$ で成り立つ。$x=-2$ と $x=4$ のときは左辺が $0$ で成り立つ。$x=5$ のとき $25-10-8=7>0$ で不適。