2次関数の問題

$C_t$ は頂点が $(t,t^2-2t)$ の放物線で、$x^2$ の係数は $1$ だから $$C_t:y=(x-t{)}^2+t^2-2t=x^2-2tx+2t^2-2t$$ である。

$C_t$ 上の $x$ 座標が $p$ の点の $y$ 座標は $p^2-2tp+2t^2-2t$ である。これを $t$ の関数とみて $$g(t)=2t^2-2(p+1)t+p^2$$ とおくと、$D$ に属し $x$ 座標が $p$ である点の $y$ 座標全体は、$0\leqq t\leqq 2$ における $g(t)$ の値域と一致する。よって $M(p),m(p)$ はそれぞれ $0\leqq t\leqq 2$ における $g(t)$ の最大値・最小値である。

平方完成すると $$g(t)=2{\left(t-\frac{p+1}{2}\right)}^2+\frac{p^2-2p-1}{2}$$ で、軸は $t=\frac{p+1}{2}$ である。また $$g(0)=p^2,g(2)=8-4(p+1)+p^2=(p-2{)}^2$$ である。軸の位置で場合分けする。

(i) $\frac{p+1}{2}\leqq 0$、すなわち $p\leqq -1$ のとき　$g(t)$ は $0\leqq t\leqq 2$ で増加するので $$M(p)-m(p)=g(2)-g(0)=(p-2{)}^2-p^2=-4p+4$$ $-4p+4=4$ より $p=0$ だが、$p\leqq -1$ を満たさない。

(ii) $\frac{p+1}{2}\geqq 2$、すなわち $p\geqq 3$ のとき　$g(t)$ は減少するので $$M(p)-m(p)=g(0)-g(2)=4p-4$$ $4p-4=4$ より $p=2$ だが、$p\geqq 3$ を満たさない。

(iii) $0<\frac{p+1}{2}\leqq 1$、すなわち $-1<p\leqq 1$ のとき　最小値は頂点の値、最大値は軸から遠い端 $t=2$ の値なので $$M(p)-m(p)=(p-2{)}^2-\frac{p^2-2p-1}{2}=\frac{2p^2-8p+8-p^2+2p+1}{2}=\frac{(p-3{)}^2}{2}$$ $\frac{(p-3{)}^2}{2}=4$ より $p-3=\pm 2\sqrt{2}$、$p=3\pm 2\sqrt{2}$。$-1<p\leqq 1$ を満たすのは $p=3-2\sqrt{2}$（$2\sqrt{2}\fallingdotseq 2.83$ より $p\fallingdotseq 0.17$）。

(iv) $1<\frac{p+1}{2}<2$、すなわち $1<p<3$ のとき　最小値は頂点の値、最大値は軸から遠い端 $t=0$ の値なので $$M(p)-m(p)=p^2-\frac{p^2-2p-1}{2}=\frac{(p+1{)}^2}{2}$$ $\frac{(p+1{)}^2}{2}=4$ より $p=-1\pm 2\sqrt{2}$。$1<p<3$ を満たすのは $p=2\sqrt{2}-1$（$\fallingdotseq 1.83$）。

以上より $$p=3-2\sqrt{2},2\sqrt{2}-1$$

$C_t$ は $y=(x-t{)}^2+t^2-2t=x^2-2tx+2t^2-2t$。$x=p$ を固定すると $y=g(t)=2t^2-2(p+1)t+p^2$ ($0\le t\le 2$)。$D$ の $x=p$ 上の点の $y$ 座標は $g(t)$ の値域で、$M(p),m(p)$ はその最大・最小。

$g(0)=p^2$, $g(2)=p^2-4p+4=(p-2{)}^2$, $g(2)-g(0)=4-4p$。軸は $t=\frac{p+1}{2}$、頂点の値は $g\left(\frac{p+1}{2}\right)=p^2-\frac{(p+1{)}^2}{2}=\frac{p^2-2p-1}{2}$。

最大値:$p<1$ のとき $M=(p-2{)}^2$、$p\ge 1$ のとき $M=p^2$。
最小値:軸が区間内($0\le \frac{p+1}{2}\le 2$、すなわち $-1\le p\le 3$)のとき $m=\frac{p^2-2p-1}{2}$。$p<-1$ のとき $m=g(0)=p^2$。$p>3$ のとき $m=g(2)=(p-2{)}^2$。

場合分け:
(1) $p<-1$:$M-m=(p-2{)}^2-p^2=-4p+4=4$ より $p=0$ となり不適。
(2) $-1\le p<1$:$M-m=(p-2{)}^2-\frac{p^2-2p-1}{2}=\frac{(p-3{)}^2}{2}=4$、$(p-3{)}^2=8$、$p=3\pm 2\sqrt{2}$。このうち $3-2\sqrt{2}\approx 0.17$ が範囲に適する($3+2\sqrt{2}$ は不適)。
(3) $1\le p\le 3$:$M-m=p^2-\frac{p^2-2p-1}{2}=\frac{(p+1{)}^2}{2}=4$、$p+1=\pm 2\sqrt{2}$、$p=-1+2\sqrt{2}\approx 1.83$ が適する($-1-2\sqrt{2}$ は不適)。
(4) $p>3$:$M-m=p^2-(p-2{)}^2=4p-4=4$ より $p=2$ となり不適。

検算:$p=3-2\sqrt{2}$ のとき $M=(1-2\sqrt{2}{)}^2=9-4\sqrt{2}$、$m=\frac{(17-12\sqrt{2})-2(3-2\sqrt{2})-1}{2}=\frac{10-8\sqrt{2}}{2}=5-4\sqrt{2}$、差は $4$。$p=2\sqrt{2}-1$ のとき $M=p^2=9-4\sqrt{2}$、$m=\frac{(9-4\sqrt{2})-2(2\sqrt{2}-1)-1}{2}=\frac{10-8\sqrt{2}}{2}=5-4\sqrt{2}$、差は $4$。

よって $p=3-2\sqrt{2},2\sqrt{2}-1$。