放物線の平行移動・対称移動

放物線 $y = f (x)$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の式 $y - q = f (x - p)$ や、 $x$ 軸・ $y$ 軸・原点に関して対称移動した放物線の式を、式の置き換えや頂点の移動から求められる

前提

平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

説明

放物線を平行移動したり、 $x$ 軸・ $y$ 軸・原点に関して折り返したりしたとき、移動後の放物線の式を求める技能です。式の $x$ , $y$ を置き換える方法と、頂点がどこへ移るかを追う方法の 2 通りがあります。グラフの移動の問題や、移動前の式を逆に求める問題などで使います。

なぜそうしてよいのか

移動後の放物線上の点を $(X, Y)$ とします。 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した図形では、点 $(X, Y)$ を逆向きに戻した点 $(X - p, Y - q)$ が、もとの放物線 $y = f (x)$ の上にあります。つまり $Y - q = f (X - p)$ が成り立ちます。逆に、これが成り立つ点 $(X, Y)$ はすべて移動後の放物線の上にあります。文字を $x$ , $y$ に戻すと、移動後の式は $y - q = f (x - p)$ です。 $x$ を $x - p$ に置き換えるのは、「移動後の点を戻すと $p$ だけ左にずれる」からで、符号が逆に見えるのはそのためです。

対称移動も同じ考え方で求められます。 $x$ 軸に関して対称な点は $(x, y) \to (x, - y)$ と移るので、移動後の式は $- y = f (x)$ です。同じように、 $y$ 軸に関して対称なら $(x, y) \to (- x, y)$ なので $y = f (- x)$ 、原点に関して対称なら $(x, y) \to (- x, - y)$ なので $- y = f (- x)$ になります。

平方完成して $y = a (x - s)^{2} + t$ と書くと、頂点 $(s, t)$ の移り先を考える方法も使えます。平行移動では形も向きも変わらないので、 $a$ はそのままで、頂点が $(s + p, t + q)$ に移ります。 $x$ 軸または原点に関する対称移動ではグラフの上下が逆になるので $a$ が $- a$ に変わります。 $y$ 軸に関する対称移動では左右が入れかわるだけなので、 $a$ は変わりません。

手順

移動の種類を確認する（平行移動なら $p$ , $q$ の値、対称移動なら $x$ 軸・ $y$ 軸・原点のどれに関するものか）
平行移動なら、もとの式の $x$ を $x - p$ に、 $y$ を $y - q$ に置き換える： $y - q = f (x - p)$
対称移動なら置き換える： $x$ 軸は $y \to - y$ （ $- y = f (x)$ ）、 $y$ 軸は $x \to - x$ （ $y = f (- x)$ ）、原点は両方（ $- y = f (- x)$ ）
展開して $y = \dots$ の形に整理する
確かめとして、平方完成した頂点 $(s, t)$ の移り先（平行移動なら $(s + p, t + q)$ ）と $x^{2}$ の係数が、得られた式と合っているかを見る

例題

放物線 $y = x^{2} - 4 x + 5$ を $x$ 軸方向に $3$ 、 $y$ 軸方向に $- 2$ だけ平行移動した放物線の方程式を $y = a x^{2} + b x + c$ の形で求めよ。

例題の解答

手順1：平行移動で、 $p = 3$ 、 $q = - 2$ です。

手順2： $x$ を $x - 3$ に、 $y$ を $y - (- 2) = y + 2$ に置き換えると、
$y + 2 = (x - 3)^{2} - 4 (x - 3) + 5$

手順4：右辺を展開すると $x^{2} - 6 x + 9 - 4 x + 12 + 5 = x^{2} - 10 x + 26$ です。よって $y + 2 = x^{2} - 10 x + 26$ となり、 $y = x^{2} - 10 x + 24$ です。

手順5（確かめ）：もとの式は $y = (x - 2)^{2} + 1$ なので、頂点は $(2, 1)$ です。この頂点は $(2 + 3, 1 - 2) = (5, - 1)$ に移ります。 $x^{2}$ の係数 $1$ は変わらないので、移動後の式は $y = (x - 5)^{2} - 1 = x^{2} - 10 x + 24$ となり、手順4の結果と一致します。

答え： $y = x^{2} - 10 x + 24$

答え: $x^{2} - 10 x + 24$

よくある誤り

$x$ 方向に $p$ 動かすとき、 $x$ を $x + p$ に置き換えてしまう誤り。正しくは $x - p$ に置き換えます。たとえば $y = x^{2}$ を $x$ 軸方向に $3$ 動かすと $y = (x - 3)^{2}$ で、 $y = (x + 3)^{2}$ ではありません。
$y$ 方向の移動で、 $y$ を置き換えずに右辺から $q$ を引いてしまう誤り。正しくは $y - q = f (x - p)$ なので、 $y = f (x - p) + q$ のように右辺に $q$ を足します。たとえば $q = - 2$ なら $y = f (x - p) - 2$ です。
$x$ 軸に関する対称移動で、一部の項だけ符号を変えてしまう誤り。 $y = x^{2} - 4 x + 5$ なら $- y = x^{2} - 4 x + 5$ より $y = - x^{2} + 4 x - 5$ です。 $y = - x^{2} - 4 x + 5$ などとはなりません。
$y$ 軸に関する対称移動と原点に関する対称移動を取り違える誤り。 $y = x^{2} - 4 x + 5$ を $y$ 軸に関して対称移動すると $y = x^{2} + 4 x + 5$ （上に凸・下に凸の向きは変わらない）、原点に関して対称移動すると $- y = x^{2} + 4 x + 5$ より $y = - x^{2} - 4 x - 5$ になります。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2次関数の決定（数学I 2次関数）