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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

放物線 $y = 2 x^{2} - 4 x + 3$ を、 $x$ 軸方向に $2$ 、 $y$ 軸方向に $- 3$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形で表したときの右辺 $a x^{2} + b x + c$ を答えよ。

この問題で使うもの

放物線の平行移動・対称移動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

放物線の平行移動の公式を使います。 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、 $y = f (x)$ は $y - q = f (x - p)$ になります。

ヒント 2

$p = 2$ 、 $q = - 3$ なので、 $x$ を $x - 2$ に、 $y$ を $y + 3$ に置き換えて $y + 3 = 2 (x - 2)^{2} - 4 (x - 2) + 3$ とします。（平方完成して頂点 $(1, 1)$ を移動させる方法でも求められます。）

ヒント 3

右辺を展開すると $y + 3 = 2 x^{2} - 12 x + 19$ となります。あとは $y = \dots$ の形に直しましょう。

答えと解説

答えを見る

2 x^{2} - 12 x + 16

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解説を読む

放物線 $y = f (x)$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式は、 $x$ を $x - p$ に、 $y$ を $y - q$ に置き換えた
$y - q = f (x - p)$
である。

今回は $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$ 、 $p = 2$ 、 $q = - 3$ である。

手順1 $x$ を $x - 2$ に、 $y$ を $y - (- 3) = y + 3$ に置き換える。
$y + 3 = 2 (x - 2)^{2} - 4 (x - 2) + 3$

手順2 右辺を展開する。
$2 (x - 2)^{2} = 2 (x^{2} - 4 x + 4) = 2 x^{2} - 8 x + 8$
$- 4 (x - 2) = - 4 x + 8$
よって
$y + 3 = 2 x^{2} - 8 x + 8 - 4 x + 8 + 3 = 2 x^{2} - 12 x + 19$

手順3 両辺から $3$ を引く。
$y = 2 x^{2} - 12 x + 16$

確かめ（頂点の移動） もとの式を平方完成すると
$y = 2 x^{2} - 4 x + 3 = 2 (x^{2} - 2 x) + 3 = 2 (x - 1)^{2} - 2 + 3 = 2 (x - 1)^{2} + 1$
より、頂点は $(1, 1)$ である。平行移動しても $x^{2}$ の係数 $2$ は変わらず、頂点は $(1 + 2, 1 - 3) = (3, - 2)$ に移る。したがって移動後の放物線は
$y = 2 (x - 3)^{2} - 2 = 2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 = 2 x^{2} - 12 x + 16$
となり、手順3の結果と一致する。

答え: $2 x^{2} - 12 x + 16$

別解

平行移動では $x$ を $x - 2$ 、 $y$ を $y + 3$ に置き換える。
$y + 3 = 2 (x - 2)^{2} - 4 (x - 2) + 3$
右辺を展開すると $2 (x^{2} - 4 x + 4) - 4 x + 8 + 3 = 2 x^{2} - 8 x + 8 - 4 x + 11 = 2 x^{2} - 12 x + 19$
よって $y = 2 x^{2} - 12 x + 19 - 3 = 2 x^{2} - 12 x + 16$ 。

検算：もとの放物線の頂点は $y = 2 (x - 1)^{2} + 1$ より $(1, 1)$ 。平行移動後の頂点は $(3, - 2)$ 。
$y = 2 (x - 3)^{2} - 2 = 2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 = 2 x^{2} - 12 x + 16$ となり一致する。

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