2次関数の問題

「2次関数の決定」の技能を使います。頂点がわかっているので、$y=a(x-p{)}^2+q$ の形でおくのが便利です。

手順 1：頂点から式の形をおく

頂点が $(1,4)$ なので、$p=1$、$q=4$ として、求める 2 次関数は
$$y=a(x-1{)}^2+4(a\ne 0)$$
とおけます。未知数は $a$ だけです。

手順 2：通る点の座標を代入して $a$ を求める

グラフは点 $(3,-4)$ を通るので、$x=3$、$y=-4$ を代入すると
$$-4=a(3-1{)}^2+4$$
$$-4=4a+4$$
$$4a=-8$$
$$a=-2$$
これは $a\ne 0$ を満たします。

手順 3：式を展開して $y=a{x}^2+bx+c$ の形にする

$$y=-2(x-1{)}^2+4=-2(x^2-2x+1)+4=-2x^2+4x-2+4=-2x^2+4x+2$$

確かめ

$x=3$ を代入すると $-2\cdot 9+4\cdot 3+2=-18+12+2=-4$ となり、点 $(3,-4)$ を通っています。また、平方完成すると $-2x^2+4x+2=-2(x-1{)}^2+4$ なので、頂点は $(1,4)$ です。

よって、求める 2 次関数は $y=-2x^2+4x+2$ です。

頂点が $(1,4)$ なので $y=a(x-1{)}^2+4$ とおく。点 $(3,-4)$ を通るから $-4=a(3-1{)}^2+4=4a+4$。よって $4a=-8$ より $a=-2$。したがって $y=-2(x-1{)}^2+4=-2(x^2-2x+1)+4=-2x^2+4x+2$。検算：$x=1$ のとき $-2+4+2=4$。$x=3$ のとき $-18+12+2=-4$。どちらも条件を満たす。