2次関数の決定

頂点・軸・通る点などの条件から $y = a (x - p)^{2} + q$ や $y = a x^{2} + b x + c$ とおいて連立方程式を解き、2次関数（平行移動の量 $p, q$ なども）を決定できる

前提

放物線の平行移動・対称移動（数学I 2次関数）

この技能までの道筋（20 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
放物線の平行移動・対称移動（数学I 2次関数）

説明

放物線について「頂点」「軸」「通る点」などの条件が与えられたとき、その条件をみたす2次関数の式を求められるようになります。式の形を条件に合わせて $y = a (x - p)^{2} + q$ や $y = a x^{2} + b x + c$ とおき、未知の文字を連立方程式で決めます。グラフの形から式を復元する問題や、平行移動の量を求める問題で使います。

なぜそうしてよいのか

前の技能で学んだとおり、放物線 $y = a x^{2}$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると $y - q = a (x - p)^{2}$ 、つまり $y = a (x - p)^{2} + q$ になり、頂点は $(p, q)$ 、軸は直線 $x = p$ です。逆に、2次関数はどれも平方完成すればこの形に書けます。ですから「頂点が $(p, q)$ 」とわかっていれば、式は $y = a (x - p)^{2} + q$ と書けて、残りの未知数は $a$ だけです。「軸が $x = p$ 」だけわかっているなら、未知数は $a$ と $q$ の2つです。

ある点 $(s, t)$ を通るとは、 $x = s$ を代入すると $y = t$ になること、つまり $t = a (s - p)^{2} + q$ が成り立つことです。通る点1つにつき、未知数についての方程式が1つ得られます。未知数の個数と同じ数だけ方程式があれば、連立して未知数が決まります。

頂点や軸の情報がなく、通る3点だけがわかっている場合は、 $y = a x^{2} + b x + c$ とおきます。未知数は $a, b, c$ の3つで、3点の座標を代入すると方程式が3つ得られるので決まります。どの形でも、2次関数であるためには $a \neq = 0$ でなければなりません。

手順

条件に合わせて式の形を選ぶ。頂点 $(p, q)$ がわかれば $y = a (x - p)^{2} + q$ 、軸 $x = p$ がわかれば $y = a (x - p)^{2} + q$ （ $a, q$ が未知）、通る3点だけなら $y = a x^{2} + b x + c$ とおく（いずれも $a \neq = 0$ ）
通る点の座標を式に代入し、未知数についての方程式をつくる。点 $(s, t)$ なら $t = a (s - p)^{2} + q$ など
できた方程式を連立して未知数を求める。3文字のときは、2式ずつ引いて $c$ などを消去すると速い
$a \neq = 0$ であることを確かめ、求めた値をもとの式に戻して答える（必要なら展開して $y = a x^{2} + b x + c$ の形にする）

例題

頂点が点 $(1, - 2)$ で、点 $(3, 6)$ を通る放物線をグラフとする2次関数を $y = a x^{2} + b x + c$ の形で求めよ。答えは右辺の式で答えよ。

例題の解答

手順1：頂点が $(1, - 2)$ なので、 $y = a (x - 1)^{2} - 2$ （ $a \neq = 0$ ）とおく。
手順2：点 $(3, 6)$ を通るので、 $x = 3, y = 6$ を代入して $6 = a (3 - 1)^{2} - 2$ 、すなわち $6 = 4 a - 2$ 。
手順3：これを解くと $4 a = 8$ より $a = 2$ 。
手順4： $a = 2 \neq = 0$ なので条件をみたす。式は $y = 2 (x - 1)^{2} - 2$ で、展開すると $y = 2 (x^{2} - 2 x + 1) - 2 = 2 x^{2} - 4 x$ 。
確認： $x = 3$ のとき $2 \cdot 9 - 12 = 6$ で、確かに点 $(3, 6)$ を通る。

答え: $2 x^{2} - 4 x$

よくある誤り

頂点 $(1, - 2)$ から $y = a (x + 1)^{2} - 2$ とおいてしまう誤り。頂点が $(p, q)$ のときは $y = a (x - p)^{2} + q$ なので、正しくは $y = a (x - 1)^{2} - 2$ 。 $x$ 座標の符号は括弧の中で逆になる。
軸が $x = 2$ とだけ与えられているのに、 $y = a (x - 2)^{2}$ のように $q = 0$ と決めつけてしまう誤り。正しくは $y = a (x - 2)^{2} + q$ とおき、 $a$ と $q$ の2つを通る2点の条件から求める。
3点を通る条件で $y = a x^{2} + b x + c$ に代入したあと、連立方程式の計算で $a = 0$ が出ても、そのまま $y = b x + c$ を答えてしまう誤り。 $a = 0$ のときは2次関数ではないので、問題の条件をみたす2次関数は存在しない（ $a \neq = 0$ の確認を忘れない）。
通る点を代入するとき $x$ と $y$ を取り違え、点 $(3, 6)$ に対して $3 = a (6 - 1)^{2} - 2$ としてしまう誤り。正しくは $x = 3, y = 6$ を代入して $6 = a (3 - 1)^{2} - 2$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
放物線 $y = x^{2} - 6 x + 7$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したところ、移動後の放物線は 2 点 $(1, 2)$ 、 $(3, 10)$ を通った。実数 $p, q$ の組 $(p, q)$ を求めよ。