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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

グラフの頂点が点 $(2, - 3)$ で、点 $(4, 5)$ を通る2次関数を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形に展開したときの右辺 $a x^{2} + b x + c$ で答えよ。

この問題で使うもの

2次関数の決定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「2次関数の決定」を使います。頂点が与えられているときは、どの形の式でおくと未知数が少なくなるか考えましょう。

ヒント 2

頂点が $(p, q)$ の2次関数は $y = a (x - p)^{2} + q$ とおけます。ここでは $y = a (x - 2)^{2} - 3$ とおき、点 $(4, 5)$ を代入します。

ヒント 3

$5 = a (4 - 2)^{2} - 3$ より $5 = 4 a - 3$ となります。ここから $a$ を求め、式を展開しましょう。

答えと解説

答えを見る

2 x^{2} - 8 x + 5

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解説を読む

方針：頂点がわかっているので、2次関数を $y = a (x - p)^{2} + q$ の形（頂点 $(p, q)$ ）とおき、通る点の条件から $a$ を決めます。

手順1：式をおく
頂点が $(2, - 3)$ なので、求める2次関数は
$y = a (x - 2)^{2} - 3 (a \neq = 0)$
とおけます。

手順2：通る点を代入する
グラフが点 $(4, 5)$ を通るので、 $x = 4, y = 5$ を代入すると
$5 = a (4 - 2)^{2} - 3$
$5 = 4 a - 3$
$4 a = 8$
$a = 2$
これは $a \neq = 0$ を満たします。

手順3：式を決めて展開する
よって $y = 2 (x - 2)^{2} - 3$ です。展開すると
$y = 2 (x^{2} - 4 x + 4) - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 8 - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 5$

確かめ： $x = 4$ のとき $2 \cdot 16 - 8 \cdot 4 + 5 = 32 - 32 + 5 = 5$ となり、点 $(4, 5)$ を通っています。また平方完成すると $y = 2 (x - 2)^{2} - 3$ に戻り、頂点は $(2, - 3)$ です。

したがって、求める2次関数は $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ です。

別解

頂点が $(2, - 3)$ なので $y = a (x - 2)^{2} - 3$ とおく。点 $(4, 5)$ を通るので $5 = a (4 - 2)^{2} - 3 = 4 a - 3$ より $a = 2$ 。よって $y = 2 (x - 2)^{2} - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 8 - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 5$ 。検算： $x = 4$ のとき $2 \cdot 16 - 32 + 5 = 5$ で成り立つ。頂点は $x = - b / (2 a) = 8/4 = 2$ 、 $y = 8 - 16 + 5 = - 3$ で成り立つ。

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