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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

グラフの頂点が点 $(2, - 3)$ で、点 $(4, 5)$ を通る2次関数を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形に展開して、右辺の式で答えよ。

この問題で使うもの

2次関数の決定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「2次関数の決定」の技能を使います。頂点がわかっているときは、 $y = a (x - p)^{2} + q$ の形でおくと、わからない文字が $a$ だけになります。

ヒント 2

頂点が $(2, - 3)$ なので $y = a (x - 2)^{2} - 3$ とおき、通る点 $(4, 5)$ の座標を代入して $a$ についての方程式をつくります。

ヒント 3

$5 = a (4 - 2)^{2} - 3$ より $5 = 4 a - 3$ となります。これを解いて $a$ を求め、 $y = a (x - 2)^{2} - 3$ を展開しましょう。

答えと解説

答えを見る

2 x^{2} - 8 x + 5

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解説を読む

頂点が与えられているので、2次関数を $y = a (x - p)^{2} + q$ の形でおきます。

手順1：頂点の座標を代入する

頂点が $(2, - 3)$ なので $p = 2, q = - 3$ です。求める2次関数は
$y = a (x - 2)^{2} - 3 (a \neq = 0)$
とおけます。まだわからないのは $a$ だけです。

手順2：通る点の座標を代入して $a$ を求める

グラフが点 $(4, 5)$ を通るので、 $x = 4, y = 5$ を代入すると
$5 = a (4 - 2)^{2} - 3$
$5 = 4 a - 3$
$4 a = 8$
$a = 2$
これは $a \neq = 0$ を満たします。

手順3：式を展開する

$y = 2 (x - 2)^{2} - 3 = 2 (x^{2} - 4 x + 4) - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 8 - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 5$

確かめ： $x = 4$ のとき $y = 2 \cdot 16 - 32 + 5 = 5$ となり、点 $(4, 5)$ を通っています。また、 $2 x^{2} - 8 x + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 3$ なので頂点は $(2, - 3)$ です。

したがって、求める2次関数は $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ です。

別解

頂点が $(2, - 3)$ なので $y = a (x - 2)^{2} - 3$ とおく。点 $(4, 5)$ を通るので $5 = a (4 - 2)^{2} - 3 = 4 a - 3$ より $4 a = 8$ 、 $a = 2$ 。よって $y = 2 (x - 2)^{2} - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 8 - 3 = 2 x^{2} - 8 x + 5$ 。検算： $x = 4$ のとき $2 \cdot 16 - 32 + 5 = 5$ で成り立つ。 $x = 2$ のとき $8 - 16 + 5 = - 3$ で頂点の $y$ 座標と一致する。

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