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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

放物線 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ を $x$ 軸方向に $2$ 、 $y$ 軸方向に $- 4$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。答えは $y = a x^{2} + b x + c$ の形に整理し、右辺の $x$ の式を答えよ。

この問題で使うもの

放物線の平行移動・対称移動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

放物線の平行移動の公式を使います。 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、式 $y = f (x)$ は $y - q = f (x - p)$ に変わります。

ヒント 2

$p = 2$ 、 $q = - 4$ なので、 $x$ を $x - 2$ に、 $y$ を $y + 4$ に置き換えます。平方完成で頂点 $(1, 3)$ を求め、頂点を移動させる方法でも求められます。

ヒント 3

置き換えると $y + 4 = 2 (x - 2)^{2} - 4 (x - 2) + 5$ となります。あとは右辺を展開し、 $y = \dots$ の形に整理します。

答えと解説

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2 x^{2} - 12 x + 17

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方法1：式の置き換え

放物線 $y = f (x)$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式は、 $x$ を $x - p$ に、 $y$ を $y - q$ に置き換えた
$y - q = f (x - p)$
である。

今回は $p = 2$ 、 $q = - 4$ なので、 $x$ を $x - 2$ に、 $y$ を $y - (- 4) = y + 4$ に置き換える。
$y + 4 = 2 (x - 2)^{2} - 4 (x - 2) + 5$
右辺を展開すると
$2 (x^{2} - 4 x + 4) - 4 x + 8 + 5 = 2 x^{2} - 8 x + 8 - 4 x + 8 + 5 = 2 x^{2} - 12 x + 21$
となる。よって
$y + 4 = 2 x^{2} - 12 x + 21$
$y = 2 x^{2} - 12 x + 17$

方法2：頂点の移動（検算）

もとの放物線を平方完成すると
$y = 2 x^{2} - 4 x + 5 = 2 (x^{2} - 2 x) + 5 = 2 (x - 1)^{2} - 2 + 5 = 2 (x - 1)^{2} + 3$
となる。頂点は $(1, 3)$ である。

平行移動では $x^{2}$ の係数 $2$ は変わらない。頂点は $(1 + 2, 3 - 4) = (3, - 1)$ に移る。よって移動後の放物線は
$y = 2 (x - 3)^{2} - 1 = 2 x^{2} - 12 x + 18 - 1 = 2 x^{2} - 12 x + 17$
となり、方法1の結果と一致する。

答え： $y = 2 x^{2} - 12 x + 17$

別解

平行移動では、 $x$ を $x - 2$ 、 $y$ を $y + 4$ に置き換える。
$y + 4 = 2 (x - 2)^{2} - 4 (x - 2) + 5$
右辺を展開する。 $2 (x^{2} - 4 x + 4) - 4 x + 8 + 5 = 2 x^{2} - 8 x + 8 - 4 x + 13 = 2 x^{2} - 12 x + 21$
よって $y = 2 x^{2} - 12 x + 21 - 4 = 2 x^{2} - 12 x + 17$ 。
検算：もとの頂点は $y = 2 (x - 1)^{2} + 3$ より $(1, 3)$ 。平行移動後の頂点は $(3, - 1)$ 。 $2 (x - 3)^{2} - 1 = 2 x^{2} - 12 x + 18 - 1 = 2 x^{2} - 12 x + 17$ となり、一致する。

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