この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

2 次関数 $y = x^{2} + 4 x + 1$ のグラフは放物線である。この放物線の頂点の座標を求めよ。

この問題で使うもの

平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「平方完成」を使って、式を $y = (x - p)^{2} + q$ の形に変形しましょう。

ヒント 2

$x$ の係数 $4$ の半分は $2$ です。 $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ なので、 $x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4$ と書けます。

ヒント 3

$y = (x + 2)^{2} - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3$ となります。ここから頂点の $x$ 座標と $y$ 座標を読み取りましょう。

答えと解説

答えを見る

(- 2, - 3)

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

平方完成して $y = a (x - p)^{2} + q$ の形に変形すると、グラフの頂点は点 $(p, q)$ 、軸は直線 $x = p$ とわかります。

手順 1： $x$ の係数の半分を見つける。
$x^{2} + 4 x$ の $x$ の係数は $4$ なので、その半分は $2$ です。

手順 2： $(x + 2)^{2}$ をつくり、余分な分を引く。
$(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ なので、
$x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4$
です。これを使うと
$y = x^{2} + 4 x + 1 = (x + 2)^{2} - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3$
となります。

手順 3：頂点を読み取る。
$y = (x + 2)^{2} - 3$ は $y = {x - (- 2)}^{2} + (- 3)$ と書けるので、 $p = - 2, q = - 3$ です。

よって、このグラフは $y = x^{2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $- 2$ 、 $y$ 軸方向に $- 3$ だけ平行移動した放物線です。軸は直線 $x = - 2$ 、 $x^{2}$ の係数が正なので下に凸です。

頂点の座標は $(- 2, - 3)$ です。

（確認： $x = - 2$ を代入すると $y = 4 - 8 + 1 = - 3$ となり、一致します。）

別解

平方完成する。 $y = x^{2} + 4 x + 1 = (x + 2)^{2} - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3$ 。よって頂点の座標は $(- 2, - 3)$ 。検算： $x = - 2$ を代入すると $y = 4 - 8 + 1 = - 3$ となり一致する。また $y^{'} = 2 x + 4 = 0$ より $x = - 2$ で、軸も一致する。

2次関数の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題