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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

2 次関数 $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ のグラフは放物線である。この放物線の頂点の座標を求めよ。

この問題で使うもの

平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

平方完成を使い、式を $y = a (x - p)^{2} + q$ の形に直しましょう。この形にすると頂点は $(p, q)$ です。

ヒント 2

まず $y = 2 (x^{2} - 4 x) + 5$ とくくります。次に、かっこの中の $x$ の係数 $- 4$ の半分を 2 乗した数を足して引きます。

ヒント 3

$x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$ なので、 $y = 2 {(x - 2)^{2} - 4} + 5$ となります。あとはかっこを外して整理しましょう。

答えと解説

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(2, - 3)

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解説を読む

平方完成して $y = a (x - p)^{2} + q$ の形に変形すると、グラフは頂点 $(p, q)$ 、軸 $x = p$ の放物線になります。

手順 1： $x^{2}$ の係数でくくる

$x$ を含む項 $2 x^{2} - 8 x$ を、 $x^{2}$ の係数 $2$ でくくります。
$y = 2 (x^{2} - 4 x) + 5$

手順 2：かっこの中を平方の形にする

$x$ の係数 $- 4$ の半分は $- 2$ で、その 2 乗は $4$ です。かっこの中に $4$ を足して引きます。
$x^{2} - 4 x = (x^{2} - 4 x + 4) - 4 = (x - 2)^{2} - 4$
よって
$y = 2 {(x - 2)^{2} - 4} + 5$

手順 3：かっこを外して整理する

$y = 2 (x - 2)^{2} - 8 + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 3$

手順 4：頂点を読み取る

$y = 2 (x - 2)^{2} - 3$ は $y = a (x - p)^{2} + q$ の形で、 $p = 2$ 、 $q = - 3$ です。したがって、グラフは頂点 $(2, - 3)$ 、軸が直線 $x = 2$ の放物線です。 $x^{2}$ の係数が $2 > 0$ なので下に凸です。

確かめ

$x = 2$ を元の式に代入すると $y = 2 \cdot 4 - 16 + 5 = - 3$ となり、頂点の $y$ 座標と一致します。

答えは $(2, - 3)$ です。

別解

平方完成する。 $y = 2 x^{2} - 8 x + 5 = 2 (x^{2} - 4 x) + 5 = 2 {(x - 2)^{2} - 4} + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 8 + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 3$ 。よって頂点は $(2, - 3)$ 。検算: $x = 2$ を代入すると $y = 2 \cdot 4 - 16 + 5 = - 3$ で一致する。また $y^{'} = 4 x - 8 = 0$ より $x = 2$ であり、これも一致する。

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