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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

2 次関数 $y = x^{2} - 6 x + 4$ のグラフは放物線である。この放物線の頂点の座標を求めよ。

この問題で使うもの

平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

平方完成を使って、式を $y = (x - p)^{2} + q$ の形に直しましょう。頂点は $(p, q)$ です。

ヒント 2

$x$ の係数 $- 6$ の半分は $- 3$ です。 $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ を使います。

ヒント 3

$y = (x - 3)^{2} - 9 + 4$ と変形できます。あとは定数の部分を計算して、頂点を読み取りましょう。

答えと解説

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(3, - 5)

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解説を読む

平方完成をして、 $y = (x - p)^{2} + q$ の形に直します。この形にすると、グラフは $y = x^{2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線になり、頂点は $(p, q)$ 、軸は直線 $x = p$ です。

手順 1： $x$ の係数の半分を見つける。
$x$ の係数は $- 6$ なので、その半分は $- 3$ です。

手順 2： $(x - 3)^{2}$ をつくる。
$(x - 3)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$ なので、 $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ と書けます。

手順 3：もとの式に代入して整理する。
$y = x^{2} - 6 x + 4 = (x - 3)^{2} - 9 + 4 = (x - 3)^{2} - 5$

手順 4：頂点を読み取る。
$y = (x - 3)^{2} - 5$ は $p = 3, q = - 5$ の場合です。したがって、グラフは $y = x^{2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$ 、 $y$ 軸方向に $- 5$ だけ平行移動した放物線です。頂点は $(3, - 5)$ 、軸は直線 $x = 3$ で、 $x^{2}$ の係数が正なので下に凸です。

（確認） $x = 3$ を代入すると $y = 9 - 18 + 4 = - 5$ となり、頂点の $y$ 座標と一致します。

答え： $(3, - 5)$

別解

平方完成すると $y = x^{2} - 6 x + 4 = (x - 3)^{2} - 9 + 4 = (x - 3)^{2} - 5$ 。よって頂点は $(3, - 5)$ 。検算： $x = 3$ を代入すると $y = 9 - 18 + 4 = - 5$ 。また $y^{'} = 2 x - 6 = 0$ より $x = 3$ で一致する。

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