2次関数の問題

$C$ は $y=x^2$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものなので
$$f(x)=(x-p{)}^2+q=x^2+ax+b(a=-2p,b=p^2+q)$$
と書ける。$p,q$ が任意の実数を動くとき、$a,b$ も任意の実数を動く（$p=-\frac{a}{2}$, $q=b-\frac{a^2}{4}$ と戻せる）。

各点でのずれを
$$e_0=f(0)=b,e_1=f(1)-3=a+b-2,e_3=f(3)-1=3a+b+8,e_4=f(4)-6=4a+b+10$$
とおく。$M=\max \{|e_0|,|e_1|,|e_3|,|e_4|\}$ である。

鍵: $a,b$ を消す組合せ

$a,b$ をどう選んでも値が変わらない組合せを作る。3 つの $e$ を選び、$a$ と $b$ の係数がともに $0$ になるような係数を付けて足す。たとえば $e_0,e_1,e_3$ について $2e_0-3e_1+e_3$ を考えると、
$b$ の係数は $2-3+1=0$、$a$ の係数は $0-3+3=0$ なので
$$2e_0-3e_1+e_3=0-3\cdot (-2)+8=14$$
となり、$a,b$ によらず一定である。

同様に他の 3 つ組でも計算すると
- $3e_0-4e_1+e_4=0+8+10=18$
- $e_0-4e_3+3e_4=0-32+30=-2$
- $e_1-3e_3+2e_4=-2-24+20=-6$

となる。ここから得られる評価は、たとえば 1 つ目なら
$$14=2e_0-3e_1+e_3\leqq 2|e_0|+3|e_1|+|e_3|\leqq (2+3+1)M=6M$$
より $M\geqq \frac{7}{3}$。同様に、残りから $M\geqq \frac{18}{8}=\frac{9}{4}$, $M\geqq \frac{2}{8}=\frac{1}{4}$, $M\geqq \frac{6}{6}=1$ が得られる。このうち最も強いのは $M\geqq \frac{7}{3}$ である。

等号が成り立つ場合

$M=\frac{7}{3}$ となるには、上の不等式の等号がすべて成り立つことが必要で、それは
$$e_0=\frac{7}{3},e_1=-\frac{7}{3},e_3=\frac{7}{3}$$
のときに限る（$e_0,e_3$ は正で絶対値 $M$、$e_1$ は負で絶対値 $M$）。
$e_0=b=\frac{7}{3}$。
$e_1=a+b-2=-\frac{7}{3}$ より $a=-\frac{7}{3}-\frac{7}{3}+2=-\frac{8}{3}$。
このとき $e_3=3\cdot \left(-\frac{8}{3}\right)+\frac{7}{3}+8=\frac{7}{3}$ となり、確かに成り立つ。
さらに $e_4=4\cdot \left(-\frac{8}{3}\right)+\frac{7}{3}+10=\frac{5}{3}$ で、$|e_4|=\frac{5}{3}\leqq \frac{7}{3}$ である。

よって $a=-\frac{8}{3}$, $b=\frac{7}{3}$ のとき $M=\frac{7}{3}$ となり、$M$ の最小値は $\frac{7}{3}$。また、最小となるのはこの $(a,b)$ のときだけである。

頂点
$$f(x)=x^2-\frac{8}{3}x+\frac{7}{3}={\left(x-\frac{4}{3}\right)}^2-\frac{16}{9}+\frac{21}{9}={\left(x-\frac{4}{3}\right)}^2+\frac{5}{9}$$
したがって、求める頂点の座標は $\left(\frac{4}{3},\frac{5}{9}\right)$ である。

$f(x)=x^2+ax+b$ とおく（平行移動なので $x^2$ の係数は 1）。4 点での差を $r_i=f(x_i)-y_i$ とすると
- $r_1=f(0)-0=b$
- $r_2=f(1)-3=a+b-2$
- $r_3=f(3)-1=3a+b+8$
- $r_4=f(4)-6=4a+b+10$

$M=\max |r_i|$ を最小にする $(a,b)$ を求める。

$d_i=y_i-x_i^2$ とおくと $d=0,2,-8,-10$（$x=0,1,3,4$）で、$r_i=-(d_i-(a{x}_i+b))$ なので、$M$ は 4 点 $(0,0),(1,2),(3,-8),(4,-10)$ に直線 $y=ax+b$ を当てはめたときの最大誤差である。

3 点 $x=0,1,3$ で誤差の絶対値が等しく、符号が交互になるように $r_1=E,r_2=-E,r_3=E$ とおく（$E>0$ とは限らない）。
$b=E$、$a+b-2=-E$、$3a+b+8=E$。第 3 式と第 1 式より $3a+8=0$、$a=-\frac{8}{3}$。第 2 式より $-\frac{8}{3}+E-2=-E$、$2E=\frac{14}{3}$、$E=\frac{7}{3}$、$b=\frac{7}{3}$。

このとき
- $r_1=\frac{7}{3}$
- $r_2=-\frac{8}{3}+\frac{7}{3}-2=-\frac{7}{3}$
- $r_3=-8+\frac{7}{3}+8=\frac{7}{3}$
- $r_4=-\frac{32}{3}+\frac{7}{3}+10=\frac{5}{3}$

よって $M=\frac{7}{3}$ で、$r_4$ は絶対値 $\frac{5}{3}<\frac{7}{3}$。

[これが最小であること] 任意の $(a,b)$ について $r_1-r_2+r_3=b-(a+b-2)+(3a+b+8)=2a+b+10$ …これは $a$ を含むので、別の組合せを使う。$r_1,r_2,r_3$ の係数を ${\lambda }_1{r}_1+{\lambda }_2{r}_2+{\lambda }_3{r}_3$ が $a,b$ によらない定数となるようにする。$b$ の係数：${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=0$、$a$ の係数：${\lambda }_2+3{\lambda }_3=0$。${\lambda }_3=1$ とすると ${\lambda }_2=-3,{\lambda }_1=2$。すると $2r_1-3r_2+r_3=2b-3(a+b-2)+(3a+b+8)=14$。したがって $14\leqq (2+3+1)M$ より $M\geqq \frac{7}{3}$。等号は $r_1=r_3=M,r_2=-M$ のとき、つまり上で求めた $(a,b)$ のみ（等号成立には $r_1=M,r_2=-M,r_3=M$ が必要で、これは $a,b$ を一意に決める）。ゆえに $M$ を最小にする $C$ は $f(x)=x^2-\frac{8}{3}x+\frac{7}{3}$ ただ 1 つ。

頂点：$f(x)={\left(x-\frac{4}{3}\right)}^2+\frac{7}{3}-\frac{16}{9}={\left(x-\frac{4}{3}\right)}^2+\frac{5}{9}$。頂点は $\left(\frac{4}{3},\frac{5}{9}\right)$。