2次関数の問題

$C$ の式を平方完成すると
$$y=x^2-4x+1=(x-2{)}^2-3$$
なので、$C$ の頂点は $(2,-3)$ である。

$C^{\prime }$ は $C$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものだから、頂点は $(2+p,-3+q)$ である。ここで $s=2+p,t=-3+q$ とおくと、$C^{\prime }$ の式は
$$y=(x-s{)}^2+t$$
となる。

点 $(1,3)$ を通る条件
$$3=(1-s{)}^2+t\text{より}t=3-(s-1{)}^2.$$

頂点の $y$ 座標が $0$ 以上である条件
$t\geqq 0$ より
$$3-(s-1{)}^2\geqq 0⟺(s-1{)}^2\leqq 3⟺1-\sqrt{3}\leqq s\leqq 1+\sqrt{3}.$$

$p+q$ を $s$ で表す
$p=s-2,q=t+3$ より
$$p+q=s+t+1=s+1+3-(s-1{)}^2=-s^2+3s+3.$$
平方完成すると
$$p+q=-{\left(s-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{21}{4}.$$

これを $g(s)$ とおき、$1-\sqrt{3}\leqq s\leqq 1+\sqrt{3}$ における最大値・最小値を求める。$1+\sqrt{3}\approx 2.73$ だから、軸 $s=\frac{3}{2}$ はこの範囲に含まれる。

最大値は $s=\frac{3}{2}$ のときで $g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{21}{4}$ である。

最小値は、軸から遠い方の端でとる。軸からの距離は
$$\frac{3}{2}-(1-\sqrt{3})=\frac{1}{2}+\sqrt{3},(1+\sqrt{3})-\frac{3}{2}=\sqrt{3}-\frac{1}{2}$$
であり、前者の方が大きい。よって最小値は $s=1-\sqrt{3}$ のときにとる。$s^2=(1-\sqrt{3}{)}^2=4-2\sqrt{3}$ より
$$g(1-\sqrt{3})=-(4-2\sqrt{3})+3(1-\sqrt{3})+3=2-\sqrt{3}.$$
（参考までに $g(1+\sqrt{3})=-(4+2\sqrt{3})+3(1+\sqrt{3})+3=2+\sqrt{3}$ であり、確かに $2-\sqrt{3}$ より大きい。）

したがって、$p+q$ の最大値は $\frac{21}{4}$（$p=-\frac{1}{2},q=\frac{23}{4}$ のとき）、最小値は $2-\sqrt{3}$（$p=-1-\sqrt{3},q=3$ のとき）である。

答え：$\left(\frac{21}{4},2-\sqrt{3}\right)$

$C:y=(x-2{)}^2-3$ なので、頂点は $(2,-3)$ である。$C^{\prime }$ は $y=(x-2-p{)}^2-3+q$ で、頂点は $(2+p,-3+q)$ となる。

頂点の $y$ 座標が $0$ 以上なので $q\ge 3$ である。

$C^{\prime }$ が点 $(1,3)$ を通ることから $(-1-p{)}^2-3+q=3$、すなわち $q=6-(p+1{)}^2$ である。

$q\ge 3$ に代入すると $(p+1{)}^2\le 3$ となる。$t=p+1$ とおくと $-\sqrt{3}\le t\le \sqrt{3}$ である。

このとき $p+q=(t-1)+6-t^2=-t^2+t+5=-(t-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{21}{4}$ となる。

$t=\frac{1}{2}$ は範囲内なので、最大値は $\frac{21}{4}$ である。

最小値は区間の端で決まる。$t=-\sqrt{3}$ のとき $2-\sqrt{3}$、$t=\sqrt{3}$ のとき $2+\sqrt{3}$ である。軸 $t=\frac{1}{2}$ から遠いのは $t=-\sqrt{3}$ の側なので、最小値は $2-\sqrt{3}$ となる。

検算：$t=-\sqrt{3}$ のとき $p=-1-\sqrt{3}$、$q=6-3=3$ で、$p+q=2-\sqrt{3}$ となり一致する。

答え：最大値 $\frac{21}{4}$、最小値 $2-\sqrt{3}$。