2次関数の問題

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+3a$ と変形できるので、グラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x=a$、頂点の値は $f(a)=-a^2+3a$ である。また
$$f(-1)=1+2a+3a=1+5a,f(2)=4-4a+3a=4-a$$
である。定義域 $-1\leqq x\leqq 2$ の中央は $x=\frac{1}{2}$ である。軸の位置で場合分けする。

$(1)$ $a<-1$ のとき：定義域で $f(x)$ は増加するので $M(a)=f(2)$, $m(a)=f(-1)$。
$$M(a)-m(a)=(4-a)-(1+5a)=3-6a$$
$a<-1$ より $3-6a>9$ なので $5$ にはならない。

$(2)$ $-1\leqq a\leqq \frac{1}{2}$ のとき：最小値は頂点で $m(a)=-a^2+3a$。軸から遠い端は $x=2$ なので $M(a)=f(2)=4-a$。
$$M(a)-m(a)=4-a+a^2-3a=a^2-4a+4=(a-2{)}^2$$
$(a-2{)}^2=5$ より $a=2\pm \sqrt{5}$。$2<\sqrt{5}<3$ より $-1<2-\sqrt{5}<0$ なので $a=2-\sqrt{5}$ は条件を満たし、$a=2+\sqrt{5}$ は満たさない。

$(3)$ $\frac{1}{2}<a\leqq 2$ のとき：$m(a)=-a^2+3a$。軸から遠い端は $x=-1$ なので $M(a)=f(-1)=1+5a$。
$$M(a)-m(a)=1+5a+a^2-3a=a^2+2a+1=(a+1{)}^2$$
$(a+1{)}^2=5$ より $a=-1\pm \sqrt{5}$。$1<\sqrt{5}-1<2$ なので $a=\sqrt{5}-1$ は条件を満たし、$a=-1-\sqrt{5}$ は満たさない。

$(4)$ $a>2$ のとき：定義域で $f(x)$ は減少するので $M(a)=f(-1)$, $m(a)=f(2)$。
$$M(a)-m(a)=(1+5a)-(4-a)=6a-3$$
$a>2$ より $6a-3>9$ なので $5$ にはならない。

以上より、求める $a$ の値は $a=2-\sqrt{5},\sqrt{5}-1$ である。

$f(x)=(x-a{)}^2-a^2+3a$。端点の値は $f(-1)=1+5a$、$f(2)=4-a$ で、$f(-1)-f(2)=6a-3$。軸は $x=a$、区間は $[-1,2]$、区間の中央は $x=\frac{1}{2}$ である。

(i) $a<-1$: 最小値は $f(-1)=1+5a$、最大値は $f(2)=4-a$。差は $3-6a=5$ より $a=-\frac{1}{3}$。これは $a<-1$ を満たさないので不適。

(ii) $-1\le a<\frac{1}{2}$: 最小値は $f(a)=-a^2+3a$、最大値は $f(2)=4-a$。差は $a^2-4a+4=(a-2{)}^2=5$ より $a=2\pm \sqrt{5}$。このうち範囲に入るのは $a=2-\sqrt{5}(\approx -0.236)$。

(iii) $\frac{1}{2}\le a\le 2$: 最小値は $-a^2+3a$、最大値は $f(-1)=1+5a$。差は $a^2+2a+1=(a+1{)}^2=5$ より $a=-1\pm \sqrt{5}$。このうち範囲に入るのは $a=\sqrt{5}-1(\approx 1.236)$。

(iv) $a>2$: 最小値は $f(2)=4-a$、最大値は $f(-1)=1+5a$。差は $6a-3=5$ より $a=\frac{4}{3}$。これは $a>2$ を満たさないので不適。

検算: $a=2-\sqrt{5}$ のとき $M=4-a=2+\sqrt{5}$、$m=-a^2+3a$ であり、差は $(a-2{)}^2=5$ となる。$a=\sqrt{5}-1$ のとき差は $(a+1{)}^2=5$ となる。

よって $a=2-\sqrt{5},\sqrt{5}-1$。