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2次関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 2次関数

$a$ は $a > 3$ を満たす定数とする。 $x$ の 2 次関数
$f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 4$
の $0 ≦ x ≦ 3$ における最小値を $a$ の式で表せ。

この問題で使うもの

文字を含む2次関数の最大・最小の場合分け（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（21 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「文字を含む2次関数の最大・最小の場合分け」を使います。まず平方完成して軸の位置を調べ、軸と定義域 $0 ≦ x ≦ 3$ の位置関係を考えましょう。

ヒント 2

$f (x) = (x - a)^{2} - a^{2} + a + 4$ なので軸は $x = a$ です。 $a > 3$ のとき、軸は定義域の左・中・右のどこにありますか。

ヒント 3

軸が定義域の右外にあるので、 $0 ≦ x ≦ 3$ で $f (x)$ は減少し、最小値は $x = 3$ のときです。あとは $f (3)$ を計算します。

答えと解説

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13 - 5 a

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解説を読む

手順 1：平方完成して軸を求める。
$f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 4 = (x - a)^{2} - a^{2} + a + 4$
グラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x = a$ 、頂点は $(a, - a^{2} + a + 4)$ です。

手順 2：軸と定義域の位置関係を調べる。
定義域は $0 ≦ x ≦ 3$ です。条件 $a > 3$ より、軸 $x = a$ は定義域の右端 $x = 3$ よりも右にあります。つまり「軸が区間の右外にある」場合です。

手順 3：グラフの形から最小となる $x$ を決める。
下に凸の放物線は、軸より左側では $x$ が増えると $y$ が減ります。定義域 $0 ≦ x ≦ 3$ 全体が軸より左にあるので、この範囲で $f (x)$ は減少します。よって、最小値をとるのは軸にいちばん近い右端 $x = 3$ のときです。

手順 4：最小値を計算する。
$f (3) = 3^{2} - 2 a \cdot 3 + a + 4 = 9 - 6 a + a + 4 = 13 - 5 a$

したがって、求める最小値は $13 - 5 a$ （ $x = 3$ のとき）です。

別解

$f (x) = x^{2} - 2 a x + a + 4 = (x - a)^{2} - a^{2} + a + 4$ と平方完成できる。放物線は下に凸で、軸は $x = a$ である。

$a > 3$ より軸は区間 $0 ≦ x ≦ 3$ の右側にあるので、この区間で $f (x)$ は単調に減少する。よって最小値は $x = 3$ のときにとる。

$f (3) = 9 - 6 a + a + 4 = 13 - 5 a$

検算： $a = 4$ のとき $f (x) = x^{2} - 8 x + 8$ なので $f (3) = 9 - 24 + 8 = - 7$ 。一方、 $13 - 5 \cdot 4 = - 7$ で一致する。また $f (0) = 8 > - 7$ であり、区間内で減少していることとも合う。

答え： $13 - 5 a$

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