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データの分析の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I データの分析

次のデータは、ある 10 人の生徒の小テストの得点（点）である。
$17, 33, 15, 20, 2, 18, 21, 14, 19, 16$
第 1 四分位数を $Q_{1}$ 、第 3 四分位数を $Q_{3}$ とする。 $Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ より小さい値、または $Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ より大きい値を外れ値とするとき、このデータの中に外れ値はいくつあるか求めよ。

この問題で使うもの

箱ひげ図と外れ値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（5 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「箱ひげ図と外れ値」の技能を使います。まず四分位数 $Q_{1}, Q_{3}$ を求め、外れ値の判定の基準となる 2 つの値を計算しましょう。

ヒント 2

外れ値の境目は $Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ と $Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ です。データを小さい順に並べ、10 個を下位 5 個と上位 5 個に分けて、それぞれの中央値を $Q_{1}, Q_{3}$ とします。

ヒント 3

並べると $2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 33$ で、 $Q_{1} = 15$ 、 $Q_{3} = 20$ 、四分位範囲は $5$ です。あとは境目の値を計算し、その外側にある値を数えましょう。

答えと解説

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2

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手順 1：データを小さい順に並べる。
$2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 33$

手順 2：四分位数を求める。
データは 10 個なので、下位 5 個 $2, 14, 15, 16, 17$ と上位 5 個 $18, 19, 20, 21, 33$ に分ける。
- $Q_{1}$ は下位 5 個の中央値なので $Q_{1} = 15$
- $Q_{3}$ は上位 5 個の中央値なので $Q_{3} = 20$

四分位範囲は $Q_{3} - Q_{1} = 20 - 15 = 5$ である。

手順 3：外れ値の境目を計算する。
$1.5 (Q_{3} - Q_{1}) = 1.5 \times 5 = 7.5$
$Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1}) = 15 - 7.5 = 7.5$
$Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1}) = 20 + 7.5 = 27.5$

手順 4：境目の外側にある値を数える。
$7.5$ より小さい値は $2$ の 1 個、 $27.5$ より大きい値は $33$ の 1 個である。

よって外れ値は $2$ と $33$ で、その個数は $2$ 個である。

別解

データを小さい順に並べると 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 33 となる（ $n = 10$ ）。
中央値は 5 番目と 6 番目の平均で $(17 + 18) /2 = 17.5$ 。
下位 5 個 2, 14, 15, 16, 17 の中央値が $Q_{1} = 15$ 。
上位 5 個 18, 19, 20, 21, 33 の中央値が $Q_{3} = 20$ 。
$Q_{3} - Q_{1} = 5$ なので、 $1.5 \times 5 = 7.5$ 。
下の境界は $15 - 7.5 = 7.5$ 、上の境界は $20 + 7.5 = 27.5$ 。
7.5 より小さい値は 2、27.5 より大きい値は 33 で、ともに外れ値となる。
他の値は 14 から 21 の範囲にあり、境界の内側にある。
よって外れ値は 2 個。
検算：2 < 7.5 であり、33 > 27.5 である。14 > 7.5 であり、21 < 27.5 である。

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