箱ひげ図と外れ値

最小値・四分位数・最大値から箱ひげ図をかけ、箱ひげ図からデータの散らばりを比べたり、 $Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ 未満・ $Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ を超える値を外れ値と判定したりできる

前提

四分位数と四分位範囲（数学I データの分析）

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代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
四分位数と四分位範囲（数学I データの分析）

説明

箱ひげ図は、最小値・第 1 四分位数 $Q_{1}$ ・中央値 $Q_{2}$ ・第 3 四分位数 $Q_{3}$ ・最大値の 5 つの値を 1 本の図にまとめたものです。複数のデータの散らばりを一目で比べたいときに使います。また、四分位範囲を物差しにして、他の値から極端に離れた値（外れ値）を決まった基準で見つけられるようになります。

なぜそうしてよいのか

データを小さい順に並べると、 $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ によっておよそ 4 等分（各部分に約 25% ずつ）されます。そこで、 $Q_{1}$ から $Q_{3}$ までを箱で表し、箱の中に $Q_{2}$ の線を引き、箱の両端から最小値・最大値までひげを伸ばします。箱には真ん中のおよそ半分のデータが入るので、箱の長さ（四分位範囲 $Q_{3} - Q_{1}$ ）が長いほど中心部分の散らばりが大きいと読めます。図全体の長さ（範囲 = 最大値 − 最小値）は端の値まで含めた散らばりを表します。

外れ値の判定では、四分位範囲を「このデータにとっての典型的な広がりの物差し」と考えます。箱の端から外へ、箱の長さの $1.5$ 倍よりも離れている値は、データの大部分から異常に離れていると見なします。式で書くと、 $Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ 未満の値、または $Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ を超える値が外れ値です。 $1.5$ という数は、よく使われる約束としての基準です。また、四分位数は端の極端な値にほとんど左右されません。そのため、平均値などを使うよりも、物差し自体が外れ値に引きずられにくいという利点があります。

手順

データを小さい順に並べ、最小値・ $Q_{1}$ ・ $Q_{2}$ ・ $Q_{3}$ ・最大値の 5 つの値を求める。
箱ひげ図をかく。目盛りをとった数直線に沿って $Q_{1}$ から $Q_{3}$ までの箱をかき、 $Q_{2}$ の位置に線を引く。箱の端から最小値・最大値までひげを伸ばす。
散らばりを比べるときは、箱の長さ（四分位範囲 $Q_{3} - Q_{1}$ ）と、ひげの端から端までの長さ（範囲）を比べる。
外れ値の境界を計算する。下の境界は $Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ 、上の境界は $Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ である。
下の境界より小さい値と、上の境界より大きい値を外れ値と判定する。境界にちょうど等しい値は外れ値ではない。

例題

次の 10 個のデータについて、外れ値をすべて求めよ。ただし、外れ値は $Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ 未満の値、または $Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ を超える値とする。
$15, 2, 18, 13, 35, 17, 12, 19, 14, 16$

例題の解答

手順 1: 小さい順に並べると $2, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 35$ となる。個数は 10 で偶数なので、中央値は $Q_{2} = \frac{15 + 16}{2} = 15.5$ である。下位 5 個 $2, 12, 13, 14, 15$ の中央値から $Q_{1} = 13$ 、上位 5 個 $16, 17, 18, 19, 35$ の中央値から $Q_{3} = 18$ が得られる。最小値は $2$ 、最大値は $35$ である。

手順 4: 四分位範囲は $Q_{3} - Q_{1} = 18 - 13 = 5$ なので、 $1.5 \times 5 = 7.5$ である。下の境界は $13 - 7.5 = 5.5$ 、上の境界は $18 + 7.5 = 25.5$ となる。

手順 5: $5.5$ 未満の値は $2$ だけで、 $25.5$ を超える値は $35$ だけである。よって外れ値は $2$ と $35$ である。

答え: ${2, 35}$

よくある誤り

境界にちょうど等しい値も外れ値に含めてしまう誤り。正しくは「未満」「超える」なので、たとえば上の境界が $25.5$ なら、 $25.5$ そのものは外れ値ではない。
$1.5$ 倍を掛け忘れたり、中央値を基準にしたりしてしまう誤り。たとえば $Q_{3} + (Q_{3} - Q_{1})$ や $Q_{2} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ としてしまう。正しくは $Q_{3} + 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ と $Q_{1} - 1.5 (Q_{3} - Q_{1})$ を使う。
箱やひげが長い部分ほどデータの個数が多いと読んでしまう誤り。正しくは、最小値〜 $Q_{1}$ 、 $Q_{1}$ 〜 $Q_{2}$ 、 $Q_{2}$ 〜 $Q_{3}$ 、 $Q_{3}$ 〜最大値の各部分には、どれもおよそ 25% ずつのデータが入っている。長い部分は、そこでデータがまばらに散らばっていることを表す。
個数が奇数のとき、中央値を下位・上位の半分に含めて $Q_{1}, Q_{3}$ を求めてしまう誤り。たとえば $1, 3, 5, 7, 9$ では、中央値 $5$ を除いた $1, 3$ と $7, 9$ から $Q_{1} = 2$ 、 $Q_{3} = 8$ を求める（高校の教科書の約束）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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