データの分析の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I データの分析

ある本屋で、ある雑誌が $8$ 日間に売れた冊数を調べたところ、次のデータが得られた。
$12, 5, 9, 15, 7, 20, 11, 3 (冊)$
このデータの四分位範囲を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べ、中央値を第 $2$ 四分位数 $Q_{2}$ とする。中央値を境にデータを下位の半分と上位の半分に分け、下位の半分の中央値を第 $1$ 四分位数 $Q_{1}$ 、上位の半分の中央値を第 $3$ 四分位数 $Q_{3}$ とする。四分位範囲は $Q_{3} - Q_{1}$ である。

この問題で使うもの

四分位数と四分位範囲（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

四分位数と四分位範囲を求める技能を使います。まずデータを小さい順に並べましょう。

ヒント 2

個数が偶数のときの中央値は、中央の $2$ つの値の平均です。 $8$ 個のデータを $4$ 個ずつの下位と上位に分け、それぞれの中央値を $Q_{1}$ 、 $Q_{3}$ とします。

ヒント 3

並べると $3, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 20$ です。下位の半分は $3, 5, 7, 9$ なので $Q_{1} = 6$ です。上位の半分 $11, 12, 15, 20$ から $Q_{3}$ を求めましょう。

答えと解説

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\frac{15}{2}

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解説を読む

手順 1：小さい順に並べる。
$3, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 20$
データの個数は $8$ 個（偶数）である。

手順 2：中央値 $Q_{2}$ を求める。
個数が偶数なので、中央の $2$ つ（ $4$ 番目と $5$ 番目）の平均をとる。
$Q_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10$

手順 3：下位と上位の半分に分ける。
$8$ 個のデータを $4$ 個ずつに分ける。
- 下位の半分： $3, 5, 7, 9$
- 上位の半分： $11, 12, 15, 20$

手順 4： $Q_{1}, Q_{3}$ を求める。
どちらも $4$ 個（偶数）なので、中央の $2$ つの平均をとる。
$Q_{1} = \frac{5 + 7}{2} = 6, Q_{3} = \frac{12 + 15}{2} = \frac{27}{2}$

手順 5：四分位範囲を求める。
$Q_{3} - Q_{1} = \frac{27}{2} - 6 = \frac{15}{2}$

したがって、四分位範囲は $\frac{15}{2}$ （冊）、つまり $7.5$ 冊である。

別解

データを小さい順に並べると $3, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 20$ （8個）。
中央値 $Q_{2} = (9 + 11) /2 = 10$ 。データ数が偶数なので、下位の半分は $3, 5, 7, 9$ 、上位の半分は $11, 12, 15, 20$ 。
下位の半分の中央値 $Q_{1} = (5 + 7) /2 = 6$ 。
上位の半分の中央値 $Q_{3} = (12 + 15) /2 = \frac{27}{2} = 13.5$ 。
四分位範囲 $Q_{3} - Q_{1} = 13.5 - 6 = 7.5 = \frac{15}{2}$ 。
検算： $Q_{3}$ は上位4個の中央の2数 12, 15 の平均、 $Q_{1}$ は下位4個の中央の2数 5, 7 の平均で、 $13.5 - 6 = 7.5$ となり一致する。

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