区画法

いくつかの区画（方形区）で数えた個体数の平均と区画の面積から、調査地全体の個体数や個体群密度を推定できる

前提

代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）

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算数中学高校大学大学院

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平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）

説明

草地のタンポポや岩の上のフジツボのように、動かない（または動きの少ない）生物でも、広い調査地にいるものを 1 つ残らず数えるのはたいへんです。区画法では、調査地の中に一定の面積の区画（方形区、コドラートともいう）をいくつか設けて、その中の個体だけを数え、そこから調査地全体の個体数を推定します。この技能では、区画ごとの個体数の平均と区画の面積から、個体群密度（単位面積あたりの個体数）と調査地全体の個体数を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

生物が調査地にほぼ一様に分布していれば、どの 1 m² をとっても、その中の個体数はだいたい同じになるはずです。そこで、いくつかの区画で数えた個体数の平均値を「区画 1 つ分の面積あたりの代表的な個体数」と考えます。1 つの区画だけだと、たまたま多い場所や少ない場所に当たって偏ることがあるので、複数の区画の平均をとることで偏りを小さくします（前提の技能の平均値の考え方です）。

区画 1 つの面積を $a$ 、区画あたりの個体数の平均を $x ˉ$ とすると、個体群密度（単位面積あたりの個体数）は
$個体群密度 = \frac{x ˉ}{a}$
です。調査地全体の面積を $S$ とすると、全体の個体数は「密度 × 面積」で
$N = \frac{x ˉ}{a} \times S$
と推定できます。これは「区画 1 つ分に $x ˉ$ 個体いるなら、調査地は区画 $\frac{S}{a}$ 個分の広さなので、全体は $x ˉ \times \frac{S}{a}$ 個体」と考えても同じです。

この方法は、動き回らない植物や動きの少ない動物に向いています。よく動く動物では、数えている間に区画を出入りしてしまうので、標識再捕法など別の方法を使います。また、区画は調査地のいろいろな場所に偏りなく（無作為に）置くことが前提です。

手順

各区画で数えた個体数を合計し、区画の数で割って平均値 $x ˉ$ を求める
区画 1 つの面積 $a$ と調査地全体の面積 $S$ の単位をそろえる（例： $50 cm \times 50 cm = 0.5 m \times 0.5 m = 0.25 m^{2}$ ）
個体群密度を求める： $\frac{x ˉ}{a}$ （単位面積あたりの個体数）
調査地全体の個体数を求める： $N = \frac{x ˉ}{a} \times S$

例題

縦 20 m、横 30 m の長方形の草地で、ある植物の個体数を調べるため、1 辺 50 cm の正方形の区画を草地内に無作為に 5 か所設け、それぞれの区画内の個体数を数えたところ、次の表のようになった。この植物は草地全体にほぼ一様に分布しているものとする。

区画	1	2	3	4	5
個体数	6	9	4	8	8

この草地全体にいるこの植物の個体数を推定し、何個体か求めよ。

例題の解答

手順 1：区画あたりの個体数の平均値を求める。
$x ˉ = \frac{6 + 9 + 4 + 8 + 8}{5} = \frac{35}{5} = 7$

手順 2：単位を m にそろえる。区画 1 つの面積は $a = 0.5 m \times 0.5 m = 0.25 m^{2}$ 、草地全体の面積は $S = 20 m \times 30 m = 600 m^{2}$ 。

手順 3：個体群密度は
$\frac{x ˉ}{a} = \frac{7}{0.25} = 28 （個体 /m^{2} ）$

手順 4：草地全体の個体数は
$N = 28 \times 600 = 16800$
よって、この植物は草地全体で 16800 個体と推定される。

答え: $16800$

よくある誤り

区画の 1 辺の長さを m に直さずに面積を計算してしまう誤り。1 辺 50 cm の区画を「 $50 \times 50 = 2500$ 」としたり、「 $0.5 m^{2}$ 」としたりしない。正しくは $0.5 m \times 0.5 m = 0.25 m^{2}$
区画あたりの平均値を 1 m² あたりの個体数（個体群密度）とそのまま考えてしまう誤り。区画の面積が $1 m^{2}$ でなければ、正しくは $\frac{x ˉ}{a}$ で、例題では $7$ ではなく $\frac{7}{0.25} = 28$ 個体/m²
区画の個体数の合計を平均値の代わりに使ってしまう誤り。例題で $35 \times \frac{600}{0.25} = 84000$ とするのは誤りで、正しくは平均 $x ˉ = \frac{35}{5} = 7$ を使って $7 \times \frac{600}{0.25} = 16800$ （または合計を使うなら、調べた区画の総面積 $5 \times 0.25 = 1.25 m^{2}$ で割って $\frac{35}{1.25} = 28$ 個体/m²）
よく動き回る動物にも区画法をそのまま使ってよいとしてしまう誤り。正しくは、区画法は植物や動きの少ない生物に向いた方法で、よく動く動物では区画への出入りで数が変わるため標識再捕法などを使う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
面積 $400 m^{2}$ の草地に生えているタンポポの個体数を、区画法で調べた。草地の中に $1 m \times 1 m$ の方形区を $5$ か所設け、それぞれの方形区の中のタンポポの個体数を数えたところ、次の表のようになった。
方形区 A B C D E
個体数 6 4 7 5 8
この草地全体のタンポポの個体数は何個体と推定されるか。ただし、タンポポは草地全体にほぼ一様に分布しているものとする。