確率・統計の問題

ある迷路に部屋 $\mathrm{A}$、部屋 $\mathrm{B}$ と出口があり、ネズミが $1$ 分ごとに $1$ 回、次の規則で移動する（各回の移動は、それまでの経過とは独立に、現在いる場所だけで決まる）。

• 部屋 $\mathrm{A}$ にいるとき：確率 $\frac{2}{3}$ で部屋 $\mathrm{B}$ へ移り、確率 $\frac{1}{3}$ で部屋 $\mathrm{A}$ にとどまる。
• 部屋 $\mathrm{B}$ にいるとき：確率 $\frac{1}{2}$ で出口に到達し、確率 $\frac{1}{2}$ で部屋 $\mathrm{A}$ へ戻る。

ネズミははじめ部屋 $\mathrm{A}$ にいる。出口に初めて到達するまでの移動回数の期待値を求めよ。ただし、この期待値が有限であることは用いてよい。

3 つの部屋 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ と出口があり、扉は次の 4 枚だけである。

• $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を結ぶ扉
• $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ扉
• $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ扉
• $\mathrm{C}$ と出口を結ぶ扉

1 匹のネズミが部屋 $\mathrm{A}$ にいる。ネズミは 1 回の移動ごとに、いまいる部屋にある扉のうち 1 枚を等しい確率で選び、その扉を通って隣の部屋（または出口）へ移る。選び方は過去の移動とは独立である。ネズミが出口に出た時点で移動を終える。部屋 $\mathrm{A}$ から出発して出口に出るまでの移動回数の期待値を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{300}$ は互いに独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{300}$$
とおく。中心極限定理を用いて $S$ の分布を正規分布で近似し、確率 $P(S\leqq 160)$ の近似値を求めよ。ただし、標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について $P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ とし、答えは小数第 4 位までの小数で答えよ。

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。続いて、$1$ から $Y$ までの $Y$ 個の整数の中から 1 つを等しい確率で選び、選んだ整数を $X$ とする。たとえば $Y=3$ のときは、$1,2,3$ のどれかがそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で選ばれる。このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

当たりの出る確率が $\frac{1}{4}$ のくじがある。このくじを 1 回ずつ引き、引いたくじは毎回もとに戻す。各回の結果は互いに独立であるとする。初めて当たりが出るまでに引いた回数（当たりが出た回も含める）を $X$ とする。$X$ の確率分布は
$$P(X=k)=\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
である。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。