確率・統計の問題

一段解析を使います。各部屋から出発したときの、出口に出るまでの移動回数の期待値を
$$m_A,m_B,m_C$$
とおきます。

手順 1：最初の 1 回の移動で場合分けする。

- 部屋 $\mathrm{A}$ の扉は $\mathrm{B}$ 行きと $\mathrm{C}$ 行きの 2 枚なので、1 回移動した後、確率 $\frac{1}{2}$ で $\mathrm{B}$、確率 $\frac{1}{2}$ で $\mathrm{C}$ にいます。そこからは改めて出発したのと同じなので
$$m_A=1+\frac{1}{2}{m}_B+\frac{1}{2}{m}_C(1)$$
- 部屋 $\mathrm{B}$ の扉は $\mathrm{A}$ 行きと $\mathrm{C}$ 行きの 2 枚なので
$$m_B=1+\frac{1}{2}{m}_A+\frac{1}{2}{m}_C(2)$$
- 部屋 $\mathrm{C}$ の扉は $\mathrm{A}$ 行き・$\mathrm{B}$ 行き・出口行きの 3 枚です。出口に出たらその後の移動は $0$ 回なので
$$m_C=1+\frac{1}{3}{m}_A+\frac{1}{3}{m}_B+\frac{1}{3}\cdot 0(3)$$

先頭の $1$ は「最初の 1 回の移動」の分です。

手順 2：連立方程式を解く。

$(1)-(2)$ より
$$m_A-m_B=\frac{1}{2}{m}_B-\frac{1}{2}{m}_A⟺\frac{3}{2}(m_A-m_B)=0$$
なので $m_A=m_B$ です。

これを $(1)$ に代入すると
$$m_A=1+\frac{1}{2}{m}_A+\frac{1}{2}{m}_C⟺m_A=2+m_C(4)$$

$(3)$ に $m_B=m_A$ を代入すると
$$m_C=1+\frac{2}{3}{m}_A$$
これに $(4)$ を代入して
$$m_C=1+\frac{2}{3}(2+m_C)⟺3m_C=3+4+2m_C⟺m_C=7$$

よって $(4)$ より
$$m_A=2+7=9$$

求める期待値は $9$ です。

部屋 A, B, C から出発したときの、出口に出るまでの移動回数の期待値をそれぞれ $a,b,c$ とする。

扉の本数は、A が 2 枚（B, C）、B が 2 枚（A, C）、C が 3 枚（A, B, 出口）である。

1 回の移動で隣へ移るので、次の式が成り立つ。
- $a=1+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c$
- $b=1+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}c$
- $c=1+\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{1}{3}\cdot 0$

最初の 2 式の差をとると $a-b=\frac{1}{2}(b-a)$ となる。よって $\frac{3}{2}(a-b)=0$ より $a=b$ である。

このとき第 1 式は $a=1+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}c$ となり、$a=2+c$ を得る。

第 3 式は $c=1+\frac{2}{3}a$ となる。

$a=2+c$ を代入すると $c=1+\frac{2}{3}(2+c)=\frac{7}{3}+\frac{2}{3}c$ となる。よって $\frac{1}{3}c=\frac{7}{3}$ より $c=7$、$a=9$ である。

検算: $b=a=9$ とすると、第 1 式の右辺は $1+\frac{9}{2}+\frac{7}{2}=9$ で成り立つ。第 3 式の右辺は $1+3+3=7$ で成り立つ。

期待値は 9 である。