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確率・統計の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学確率・統計

ある迷路に部屋 $A$ 、部屋 $B$ と出口があり、ネズミが $1$ 分ごとに $1$ 回、次の規則で移動する（各回の移動は、それまでの経過とは独立に、現在いる場所だけで決まる）。

部屋 $A$ にいるとき：確率 $\frac{2}{3}$ で部屋 $B$ へ移り、確率 $\frac{1}{3}$ で部屋 $A$ にとどまる。
部屋 $B$ にいるとき：確率 $\frac{1}{2}$ で出口に到達し、確率 $\frac{1}{2}$ で部屋 $A$ へ戻る。

ネズミははじめ部屋 $A$ にいる。出口に初めて到達するまでの移動回数の期待値を求めよ。ただし、この期待値が有限であることは用いてよい。

この問題で使うもの

到達確率と平均到達時間（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（64 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「到達確率と平均到達時間」の一段解析を使う。部屋 A、部屋 B から出発したときの期待値をそれぞれ $m_{A}$ , $m_{B}$ とおき、最初の 1 回の移動で場合分けする。

ヒント 2

最初の 1 回の移動で 1 回分を数え、その後は移動先から出発し直したと考える。例えば $m_{B} = 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} m_{A}$ となる。

ヒント 3

$m_{A} = 1 + \frac{1}{3} m_{A} + \frac{2}{3} m_{B}$ と $m_{B} = 1 + \frac{1}{2} m_{A}$ を連立する。代入すると $m_{A} = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} m_{A}$ となる。

答えと解説

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5

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解説を読む

方針（一段解析）：最初の $1$ 回の移動で場合分けして、平均到達時間の連立方程式を立てる。

部屋 $A$ から出発したときの、出口に初めて到達するまでの移動回数の期待値を $m_{A}$ 、部屋 $B$ から出発したときの期待値を $m_{B}$ とおく。出口から出発するときは $0$ 回である。

部屋 $A$ から出発する場合：まず $1$ 回移動する。その結果、
- 確率 $\frac{2}{3}$ で部屋 $B$ にいる。移動の規則は現在地だけで決まるので、そこから先の移動回数の期待値は $m_{B}$ 。
- 確率 $\frac{1}{3}$ で部屋 $A$ にいる。そこから先の移動回数の期待値は $m_{A}$ 。

したがって
$m_{A} = 1 + \frac{1}{3} m_{A} + \frac{2}{3} m_{B} (1)$

部屋 $B$ から出発する場合：まず $1$ 回移動し、確率 $\frac{1}{2}$ で出口（残り $0$ 回）、確率 $\frac{1}{2}$ で部屋 $A$ （残りの期待値 $m_{A}$ ）にいるので
$m_{B} = 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} m_{A} = 1 + \frac{1}{2} m_{A} (2)$

連立方程式を解く： $(2)$ を $(1)$ に代入すると
$m_{A} = 1 + \frac{1}{3} m_{A} + \frac{2}{3} (1 + \frac{1}{2} m_{A}) = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} m_{A}$
よって $\frac{1}{3} m_{A} = \frac{5}{3}$ より $m_{A} = 5$ 。（このとき $m_{B} = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}$ である。）

期待値が有限であることが保証されているので、この連立方程式の解が求める期待値である。

答え： $5$ 回

別解

部屋 A, B から出口に初めて到達するまでの移動回数の期待値をそれぞれ $a, b$ とする。1 回の移動で 1 を加え、移動先からの期待値を足す。

$a = 1 + \frac{2}{3} b + \frac{1}{3} a$
$b = 1 + \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} \cdot 0$

第1式より $\frac{2}{3} a = 1 + \frac{2}{3} b$ 、すなわち $a = \frac{3}{2} + b$ 。
第2式に代入して $b = 1 + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} + b) = \frac{7}{4} + \frac{b}{2}$ より $b = \frac{7}{2}$ 。
よって $a = \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = 5$ 。

検算： $a = 5, b = 3.5$ のとき、第1式の右辺は $1 + \frac{2}{3} \cdot 3.5 + \frac{5}{3} = 1 + \frac{7}{3} + \frac{5}{3} = 5$ で一致する。第2式の右辺は $1 + 2.5 = 3.5$ で一致する。

答えは $5$ 。

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