確率・統計の問題

状態空間 $\{1,2,3\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}& 0& \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
で与えられている（$(i,j)$ 成分が状態 $i$ から状態 $j$ へ 1 回で移る確率）。$X_0=1$ とするとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_{n+1}=X_n)$$
の値を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ があり、その推移確率行列 $P=(p_{ij})$（$p_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$）が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
で与えられている。この連鎖の定常分布 $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$（$\pi P=\pi$, ${\pi }_1+{\pi }_2+{\pi }_3=1$, ${\pi }_i\ge 0$ を満たすもの）を求め、組 $({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ の形で答えよ。

状態空間 $\{0,1,2,3\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の 1 ステップの推移確率が次で与えられている。
- 状態 $0$ と状態 $3$ は吸収状態である（一度入ると出ない）。
- 状態 $1$ からは、確率 $\frac{1}{3}$ で $0$ へ、確率 $\frac{1}{2}$ で $2$ へ移り、確率 $\frac{1}{6}$ で $1$ にとどまる。
- 状態 $2$ からは、確率 $\frac{1}{2}$ で $0$ へ、確率 $\frac{1}{4}$ で $1$ へ、確率 $\frac{1}{4}$ で $3$ へ移る。

$X_0=1$ のとき、この連鎖が状態 $0$ より先に状態 $3$ に到達する確率を求めよ。

状態空間 $\{0,1,2,3\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ があり、推移確率 $p_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ は次のとおりである。
- 状態 $0$ と状態 $3$ は吸収状態である（$p_{00}=p_{33}=1$）。
- 状態 $1$ からは $p_{12}=\frac{1}{2}$, $p_{11}=\frac{1}{4}$, $p_{10}=\frac{1}{4}$。
- 状態 $2$ からは $p_{23}=\frac{1}{3}$, $p_{21}=\frac{1}{3}$, $p_{20}=\frac{1}{3}$。

$X_0=1$ から出発したとき、この連鎖が状態 $0$ に到達する前に状態 $3$ に到達する確率を求めよ。

ある町の天気は毎日「晴れ」か「雨」のどちらかであり、翌日の天気はその日の天気だけで次のように決まるものとする。

• ある日が晴れならば、翌日が晴れである確率は $\frac{3}{4}$、雨である確率は $\frac{1}{4}$ である。
• ある日が雨ならば、翌日が晴れである確率は $\frac{1}{2}$、雨である確率は $\frac{1}{2}$ である。

すなわち、状態を $1$（晴れ）、$2$（雨）とすると、天気は推移確率行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
をもつ斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ に従う（$(i,j)$ 成分は状態 $i$ から状態 $j$ へ移る確率）。今日（$0$ 日目）は晴れである。$n$ を $0$ 以上の整数とするとき、$n$ 日後が晴れである確率 $p_n=P(X_n=1)$ を $n$ の式で求めよ。