確率・統計の問題

状態空間 $\{0,1,2,3\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の 1 ステップの推移確率が次で与えられている。
- 状態 $0$ と状態 $3$ は吸収状態である（一度入ると出ない）。
- 状態 $1$ からは、確率 $\frac{1}{3}$ で $0$ へ、確率 $\frac{1}{2}$ で $2$ へ移り、確率 $\frac{1}{6}$ で $1$ にとどまる。
- 状態 $2$ からは、確率 $\frac{1}{2}$ で $0$ へ、確率 $\frac{1}{4}$ で $1$ へ、確率 $\frac{1}{4}$ で $3$ へ移る。

$X_0=1$ のとき、この連鎖が状態 $0$ より先に状態 $3$ に到達する確率を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3,4\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{3}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
で与えられている。ここで $P$ の $(i,j)$ 成分は $P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ を表す。状態 $1$ と状態 $4$ は吸収状態である。$X_0=2$ のとき、この連鎖が状態 $1$ より先に状態 $4$ に到達する（すなわち最終的に状態 $4$ に吸収される）確率を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ があり、その推移確率行列 $P=(p_{ij})$（$p_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$）が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
で与えられている。この連鎖の定常分布 $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$（$\pi P=\pi$, ${\pi }_1+{\pi }_2+{\pi }_3=1$, ${\pi }_i\ge 0$ を満たすもの）を求め、組 $({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ の形で答えよ。

$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $2$ 回投げ、出た目を順に $D_1,D_2$ とする。$X=\min (D_1,D_2)$, $Y=\max (D_1,D_2)$ とおくとき、共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}& 0& \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
で与えられている（$(i,j)$ 成分が状態 $i$ から状態 $j$ へ 1 回で移る確率）。$X_0=1$ とするとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_{n+1}=X_n)$$
の値を求めよ。