確率・統計の問題

状態空間 $\{1,2,3,4\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{3}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
で与えられている。ここで $P$ の $(i,j)$ 成分は $P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ を表す。状態 $1$ と状態 $4$ は吸収状態である。$X_0=2$ のとき、この連鎖が状態 $1$ より先に状態 $4$ に到達する（すなわち最終的に状態 $4$ に吸収される）確率を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ があり、その推移確率行列 $P=(p_{ij})$（$p_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$）が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
で与えられている。この連鎖の定常分布 $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$（$\pi P=\pi$, ${\pi }_1+{\pi }_2+{\pi }_3=1$, ${\pi }_i\ge 0$ を満たすもの）を求め、組 $({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ の形で答えよ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で与えられている。$X=x$ $(x>0)$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ の条件付き確率密度関数は
$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-xy}& (y>0)\\ 0& (y\le 0)\end{array}$$
であるとする。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)$ を求めよ。

ある町の天気は毎日「晴れ」か「雨」のどちらかであり、翌日の天気はその日の天気だけで次のように決まるものとする。

• ある日が晴れならば、翌日が晴れである確率は $\frac{3}{4}$、雨である確率は $\frac{1}{4}$ である。
• ある日が雨ならば、翌日が晴れである確率は $\frac{1}{2}$、雨である確率は $\frac{1}{2}$ である。

すなわち、状態を $1$（晴れ）、$2$（雨）とすると、天気は推移確率行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
をもつ斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ に従う（$(i,j)$ 成分は状態 $i$ から状態 $j$ へ移る確率）。今日（$0$ 日目）は晴れである。$n$ を $0$ 以上の整数とするとき、$n$ 日後が晴れである確率 $p_n=P(X_n=1)$ を $n$ の式で求めよ。

状態空間 $\{0,1,2,3\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の 1 ステップの推移確率が次で与えられている。
- 状態 $0$ と状態 $3$ は吸収状態である（一度入ると出ない）。
- 状態 $1$ からは、確率 $\frac{1}{3}$ で $0$ へ、確率 $\frac{1}{2}$ で $2$ へ移り、確率 $\frac{1}{6}$ で $1$ にとどまる。
- 状態 $2$ からは、確率 $\frac{1}{2}$ で $0$ へ、確率 $\frac{1}{4}$ で $1$ へ、確率 $\frac{1}{4}$ で $3$ へ移る。

$X_0=1$ のとき、この連鎖が状態 $0$ より先に状態 $3$ に到達する確率を求めよ。