確率・統計の問題

ある町の天気は毎日「晴れ」か「雨」のどちらかであり、翌日の天気はその日の天気だけで次のように決まるものとする。

• ある日が晴れならば、翌日が晴れである確率は $\frac{3}{4}$、雨である確率は $\frac{1}{4}$ である。
• ある日が雨ならば、翌日が晴れである確率は $\frac{1}{2}$、雨である確率は $\frac{1}{2}$ である。

すなわち、状態を $1$（晴れ）、$2$（雨）とすると、天気は推移確率行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
をもつ斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ に従う（$(i,j)$ 成分は状態 $i$ から状態 $j$ へ移る確率）。今日（$0$ 日目）は晴れである。$n$ を $0$ 以上の整数とするとき、$n$ 日後が晴れである確率 $p_n=P(X_n=1)$ を $n$ の式で求めよ。

ある町の天気は毎日「晴れ」か「雨」のどちらかであり、次のようなマルコフ連鎖に従うものとする。

• 今日が晴れのとき、明日が雨である確率は $\frac{1}{5}$、晴れである確率は $\frac{4}{5}$
• 今日が雨のとき、明日が晴れである確率は $\frac{1}{3}$、雨である確率は $\frac{2}{3}$

状態を（晴れ, 雨）の順に並べると、推移確率行列は
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{5}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
である。$n$ 日後が雨である確率は、最初の日の天気によらず、$n\to \infty$ のとき一定の値に近づく。この極限の値を求めよ。

ある工場の機械は、毎朝「稼働」か「故障」のどちらかの状態にある。翌朝の状態は、その日の朝の状態だけで次のように確率的に決まるものとする。

• その日の朝に稼働していれば、翌朝も稼働している確率は $\frac{3}{4}$、故障している確率は $\frac{1}{4}$ である。
• その日の朝に故障していれば、その日のうちに修理が行われ、翌朝に稼働している確率は $\frac{1}{2}$、故障したままである確率は $\frac{1}{2}$ である。

すなわち、状態を（稼働, 故障）の順に並べた推移確率行列は
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
である（第 $i$ 行第 $j$ 列が、状態 $i$ から状態 $j$ へ移る確率）。

$0$ 日目の朝、機械は故障していた。$n$ を $0$ 以上の整数とするとき、$n$ 日目の朝に機械が稼働している確率 $p_n$ を $n$ の式で求めよ。

ある町の天気を「晴れ」と「雨」の 2 つの状態だけで考える。翌日の天気は当日の天気だけで決まり、次の規則に従うものとする。

• 晴れの日の翌日が雨になる確率は $\frac{1}{5}$、晴れになる確率は $\frac{4}{5}$
• 雨の日の翌日が晴れになる確率は $\frac{2}{5}$、雨になる確率は $\frac{3}{5}$

$n$ 日目の天気を $X_n$（$n$ は 0 以上の整数）とすると、$X_0,X_1,X_2,\dots$ は状態の順を（晴れ, 雨）とした推移確率行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{5}& \frac{1}{5}\\ \frac{2}{5}& \frac{3}{5}\end{array}\right)$$
をもつマルコフ連鎖である。このマルコフ連鎖では、最初の日の天気によらず $n\to \infty$ のときの $X_n$ の分布は、$\pi P=\pi$ と各成分の和が $1$ であることを満たすただ 1 つの確率分布 $\pi$（定常分布）に収束することが知られている。

$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n=\text{雨})$ を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3,4\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{3}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
で与えられている。ここで $P$ の $(i,j)$ 成分は $P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ を表す。状態 $1$ と状態 $4$ は吸収状態である。$X_0=2$ のとき、この連鎖が状態 $1$ より先に状態 $4$ に到達する（すなわち最終的に状態 $4$ に吸収される）確率を求めよ。