極限の問題

1 辺の長さが $6$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ がある。三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円を $C_0$ とする。

頂点 $\mathrm{A}$ について、次のように円 $D_1,D_2,D_3,\dots$ を順に定める。
- $D_1$ は、2 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ に接し、$C_0$ に外接する円のうち、$C_0$ と $\mathrm{A}$ の間にあるものとする。
- $k=1,2,3,\dots$ に対し、$D_{k+1}$ は、2 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ に接し、$D_k$ に外接する円のうち、$D_k$ と $\mathrm{A}$ の間にあるものとする。

頂点 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ についても同様に円の列を定める。内接円 $C_0$ と、3 つの頂点それぞれについて定めた無限個の円すべての面積の総和を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^{2n+1}+a{x}^2+bx+3}{x^{2n}+1}$$
で定める。ただし $n$ は正の整数である。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるように $a,b$ の値を定めたとき、区間 $-1\le x\le 1$ における $f(x)$ の最大値を求めよ。

$x$ を実数とする。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }x{\left(x^2-2x\right)}^{n-1}=x+x\left(x^2-2x\right)+x{\left(x^2-2x\right)}^2+\cdots$$
が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して、関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a{x}^{2n+1}+x^{2n}+x^3+a^2{x}^2}{x^{2n}+1}$$
で定める。ただし $n$ は正の整数である。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるような $a$ の値を求めよ。

$x$ を実数の定数とし、数列 $\{a_n\}$ を
$$a_n={\left(\frac{x^2-2x-1}{2}\right)}^n(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。数列 $\{a_n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。