極限の問題

内接円の半径

1 辺の長さが $6$ の正三角形の内接円の半径は $\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot 6=\sqrt{3}$ である。よって $C_0$ の面積は $3\pi$。

頂点 A 側の円の半径の関係

$\angle \mathrm{A}=\frac{\pi }{3}$ である。2 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ に接する半径 $r$ の円の中心は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線上にあり、中心から $\mathrm{A}$ までの距離を $d$ とすると
$$r=d\sin \frac{\pi }{6}=\frac{d}{2}\text{すなわち}d=2r$$
である（$C_0$ についても $d=2\sqrt{3}$ で成り立つ）。

半径 $R$ の円と、その円と $\mathrm{A}$ の間にあって外接する半径 $r$ の円を考えると、2 つの中心はどちらも二等分線上にあるので、中心間の距離は $2R-2r$ で、外接することから
$$2R-2r=R+r⟹r=\frac{R}{3}$$
となる。したがって $D_k$ の半径を $r_k$ とすると
$$r_1=\frac{\sqrt{3}}{3},r_{k+1}=\frac{1}{3}{r}_k\text{より}{r}_k=\sqrt{3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^k$$

頂点 A 側の面積の和

$D_k$ の面積は $\pi r_k^2=3\pi {\left(\frac{1}{9}\right)}^k$。これは初項 $\frac{\pi }{3}$、公比 $\frac{1}{9}$ の無限等比級数で、$\left|\frac{1}{9}\right|<1$ より収束し、
$$\sum _{k=1}^{\infty }3\pi {\left(\frac{1}{9}\right)}^k=\frac{\frac{\pi }{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{9}{8}=\frac{3}{8}\pi$$

全体の和

対称性から頂点 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ 側の和も同じく $\frac{3}{8}\pi$。よって求める総和は
$$3\pi +3\cdot \frac{3}{8}\pi =3\pi +\frac{9}{8}\pi =\frac{33}{8}\pi$$

正三角形の1辺は $6$ なので、内接円 $C_0$ の半径は $r_0=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。内心から頂点 A までの距離は $2r_0=2\sqrt{3}$。

頂点 A での角は $60^{\circ }$ で、2辺 AB, AC に接する円の中心は角の二等分線上にある。中心と A の距離を $d$、半径を $\rho$ とすると $\rho =d\sin 30^{\circ }=\frac{d}{2}$、すなわち $d=2\rho$。

半径 $r_k$ の円 $D_k$ と半径 $r_{k+1}$ の円 $D_{k+1}$ が外接し、$D_{k+1}$ が A 側にあるとき、中心間距離は $2r_k-2r_{k+1}=r_k+r_{k+1}$。よって $r_{k+1}=\frac{1}{3}{r}_k$。$C_0$ と $D_1$ も同様に $r_1=\frac{1}{3}{r}_0=\frac{\sqrt{3}}{3}$。したがって $r_k=\sqrt{3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^k$。

$D_k$ の面積は $\pi r_k^2=3\pi {\left(\frac{1}{9}\right)}^k$。1つの頂点について $k=1,2,\dots$ の総和は初項 $\frac{3\pi }{9}=\frac{\pi }{3}$、公比 $\frac{1}{9}$ の無限等比級数で
$$\frac{\pi /3}{1-1/9}=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{9}{8}=\frac{3\pi }{8}.$$
3つの頂点で $3\times \frac{3\pi }{8}=\frac{9\pi }{8}$。$C_0$ の面積は $\pi (\sqrt{3}{)}^2=3\pi$。

総和は $3\pi +\frac{9\pi }{8}=\frac{33\pi }{8}$。

検算: 一辺 $6$ の三角形で頂点 A から $C_0$ の A 側の端までの距離は $2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。$D_1$ の直径は $\frac{2\sqrt{3}}{3}$、以降の直径の和は $\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{1-1/3}=\sqrt{3}$ となり、A から $C_0$ までの距離 $\sqrt{3}$ と一致する。