極限の問題

手順1：初項と公比を読み取る

初項は $a=6$ です。公比 $r$ は、第2項を第1項で割って
$$r=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$$
です。第3項を第2項で割っても $\frac{2}{3}÷(-2)=-\frac{1}{3}$ となり、確かに公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列の和になっています。

手順2：収束するかどうかを調べる

初項 $a\ne 0$ の無限等比級数は、$|r|<1$ のとき収束し、$|r|\geqq 1$ のとき発散します。いまは
$$|r|=\frac{1}{3}<1$$
なので、この無限等比級数は収束します。

手順3：部分和の極限として和を求める

第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ は、等比数列の和の公式より
$$S_n=\frac{6\left\{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right\}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{6}{\frac{4}{3}}\left\{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right\}=\frac{9}{2}\left\{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right\}$$
です。

$\left|-\frac{1}{3}\right|<1$ なので、$n\to \infty$ のとき ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$ となります。よって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{9}{2}(1-0)=\frac{9}{2}$$
です。

これは公式 $\frac{a}{1-r}$ に $a=6,r=-\frac{1}{3}$ を代入して $\frac{6}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}$ と求めた結果と一致します。

したがって、この無限等比級数は収束し、その和は $\frac{9}{2}$ です。

初項 $a=6$、公比 $r=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$ である。確認: $-2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$、$\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{9}$ となり、与えられた項と一致する。$|r|=\frac{1}{3}<1$ なので収束する。和は $\frac{a}{1-r}=\frac{6}{1+\frac{1}{3}}=\frac{6}{\frac{4}{3}}=\frac{9}{2}$。検算: 部分和は 6, 4, 4.667, 4.444, ... と $4.5$ の付近を振動しながら近づく。よって収束し、和は $\frac{9}{2}$。