極限の問題

手順1：初項と公比を読み取る。

初項は $a=9$ である。公比 $r$ は、となり合う項の比から求める。
$$r=\frac{-6}{9}=-\frac{2}{3}$$
確かめると、$(-6)\times \left(-\frac{2}{3}\right)=4$、$4\times \left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{3}$ となり、確かに公比 $-\frac{2}{3}$ の等比数列の和である。

手順2：収束するかどうかを調べる。

無限等比級数 $a+ar+a{r}^2+\cdots$（$a\ne 0$）は、$|r|<1$ のとき収束し、$|r|\geqq 1$ のとき発散する。ここでは
$$|r|=\frac{2}{3}<1$$
なので、この無限等比級数は収束する。

手順3：部分和の極限として和を求める。

初項から第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ は、等比数列の和の公式から
$$S_n=\frac{9\left\{1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right\}}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{9}{\frac{5}{3}}\left\{1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right\}=\frac{27}{5}\left\{1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right\}$$
$\left|-\frac{2}{3}\right|<1$ より $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n=0$ である。したがって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{27}{5}(1-0)=\frac{27}{5}$$

（公式 $\frac{a}{1-r}$ を使うと、$\frac{9}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{9}{\frac{5}{3}}=\frac{27}{5}$ となり、同じ結果になる。）

よって、この無限等比級数は収束し、その和は $\frac{27}{5}$ である。

初項 $a=9$、公比 $r=\frac{-6}{9}=-\frac{2}{3}$ である。確認: $-6\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=4$、$4\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{3}$ となり、問題の数列と一致する。$|r|=\frac{2}{3}<1$ なので収束する。和は $\frac{a}{1-r}=\frac{9}{1+\frac{2}{3}}=\frac{9}{\frac{5}{3}}=\frac{27}{5}$。検算: 部分和は $9-6=3$、$+4=7$、$-\frac{8}{3}\approx 4.33$、次の項 $\frac{16}{9}$ で $\approx 6.11$、次の項 $-\frac{32}{27}$ で $\approx 4.93$ となり、$5.4$ の前後で振動しながら近づいている。よって和は $\frac{27}{5}$。