極限の問題

手順1：初項と公比を求める。

初項は $a=6$ です。第2項を第1項で割ると、公比は
$$r=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$$
です。$\frac{2}{3}÷(-2)=-\frac{1}{3}$ となり、以降も同じ比で続くことが確かめられます。

手順2：収束を確かめる。

$|r|=\frac{1}{3}<1$ なので、この無限等比級数は収束します。

手順3：部分和の極限として和を求める。

第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ は、等比数列の和の公式より
$$S_n=\frac{6\left\{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right\}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{6}{\frac{4}{3}}\left\{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right\}=\frac{9}{2}\left\{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right\}$$
です。

$\left|-\frac{1}{3}\right|<1$ より、$n\to \infty$ のとき ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$ です。したがって
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{9}{2}$$
となります。

確認： 公式 $\frac{a}{1-r}=\frac{6}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}$ を使っても同じ結果になります。

よって、求める和は $\frac{9}{2}$ です。

初項 $a=6$、公比 $r=-2/6=-\frac{1}{3}$ である。確認すると $6\cdot (-\frac{1}{3})=-2$、$-2\cdot (-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}$、$\frac{2}{3}\cdot (-\frac{1}{3})=-\frac{2}{9}$ となり、与えられた項と一致する。$|r|<1$ なので収束し、和は $\frac{a}{1-r}=\frac{6}{1+\frac{1}{3}}=\frac{6}{\frac{4}{3}}=\frac{9}{2}$。検算として部分和を見ると、$6-2=4$、$4+\frac{2}{3}=4.667$、$4.667-0.222=4.444$ となり、$4.5$ の前後で振動しながら近づいている。