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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

$t$ を実数の媒介変数として、曲線が
$x = t^{2} + 1, y = t^{3} - 2 t$
で表されている。 $t = 2$ に対応する点における $\frac{d y}{d x}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

媒介変数表示された曲線の微分の技能を使います。 $x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分して考えましょう。

ヒント 2

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ （ただし $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ ）を使います。

ヒント 3

$\frac{d x}{d t} = 2 t$ , $\frac{d y}{d t} = 3 t^{2} - 2$ なので、 $\frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2} - 2}{2 t}$ です。ここに $t = 2$ を代入します。

答えと解説

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\frac{5}{2}

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解説を読む

媒介変数表示 $x = f (t), y = g (t)$ で表された曲線では、 $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ のとき
$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$
が成り立ちます。この公式を使います。

手順1： $x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。
$\frac{d x}{d t} = 2 t, \frac{d y}{d t} = 3 t^{2} - 2$

手順2：公式に当てはめる。
$\frac{d x}{d t} = 2 t$ は $t \neq = 0$ で $0$ にならないので、
$\frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2} - 2}{2 t}$

手順3： $t = 2$ を代入する。
$t = 2$ のとき $\frac{d x}{d t} = 4 \neq = 0$ であり、
$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 2 ^{2} - 2}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

よって、求める値は $\frac{5}{2}$ です。

別解

$\frac{d x}{d t} = 2 t$ 、 $\frac{d y}{d t} = 3 t^{2} - 2$ より、 $t \neq = 0$ のとき $\frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2} - 2}{2 t}$ 。 $t = 2$ では $\frac{3 \cdot 4 - 2}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ 。
検算： $t = 2$ の近くで $t = 2.01$ とすると、 $x = 5.0401$ 、 $y = 8.120601 - 4.02 = 4.100601$ 。 $t = 2$ では $x = 5$ 、 $y = 4$ 。差の比は $0.100601/0.0401 \approx 2.509$ となり、 $\frac{5}{2}$ に近い。

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