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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

$t$ を実数の媒介変数として、曲線が次のように表されている。
$x = t^{2} + 1, y = t^{3} - 3 t$
$t = 2$ に対応する点における $\frac{d y}{d x}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（20 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

媒介変数表示の微分を使います。 $x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分してみましょう。

ヒント 2

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ を使います（ $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ のとき）。

ヒント 3

$\frac{d x}{d t} = 2 t$ 、 $\frac{d y}{d t} = 3 t^{2} - 3$ なので、 $\frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2} - 3}{2 t}$ です。あとは $t = 2$ を代入します。

答えと解説

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\frac{9}{4}

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解説を読む

媒介変数表示 $x = f (t), y = g (t)$ で表された曲線では、 $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ のとき
$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$
が成り立ちます。これを使います。

手順1： $x$ を $t$ で微分する。
$\frac{d x}{d t} = (t^{2} + 1)^{'} = 2 t$

手順2： $y$ を $t$ で微分する。
$\frac{d y}{d t} = (t^{3} - 3 t)^{'} = 3 t^{2} - 3$

手順3：割り算で $\frac{d y}{d x}$ を求める。
$t \neq = 0$ のとき $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ なので
$\frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2} - 3}{2 t}$

手順4： $t = 2$ を代入する。
$t = 2$ のとき $\frac{d x}{d t} = 4 \neq = 0$ なので公式が使え、
$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 2 ^{2} - 3}{2 \cdot 2} = \frac{12 - 3}{4} = \frac{9}{4}$

よって、求める値は $\frac{9}{4}$ です。

別解

$\frac{d x}{d t} = 2 t$ , $\frac{d y}{d t} = 3 t^{2} - 3$ より、 $t \neq = 0$ のとき $\frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2} - 3}{2 t}$ 。 $t = 2$ を代入すると $\frac{3 \cdot 4 - 3}{4} = \frac{9}{4}$ 。検算： $t = 2$ で $\frac{d x}{d t} = 4 \neq = 0$ 、 $\frac{d y}{d t} = 9$ なので、 $\frac{d y}{d x} = \frac{9}{4}$ 。

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