まっすぐな海岸線上に、 離れた 2 つの観測点 A, B がある。沖合の 1 点（波源）で津波が発生し、A にも B にも、発生から 25 分後に同時に到達した。津波は波源から海上をまっすぐ進み、その速さは海域全体で一様に であるとする。この海岸線上で津波が最も早く到達する地点には、津波の発生から何分後に到達するか。整数で求めよ。
観測点の到達時刻と津波の波源
複数の観測点での津波の到達時刻から波源までの距離を求め、三平方の定理を使って波源と海岸線の位置関係や、海岸線で最も早く津波が到達する地点への到達時間を求められる
前提
- 津波の到達時間 （高校地学 海洋）
- 2点間の距離と内分点・外分点 （数学II 図形と方程式）
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- 2点間の距離と内分点・外分点 （数学II 図形と方程式）
説明
津波が発生した場所（波源）は海の中なので、直接は見えません。しかし、海岸のいくつかの観測点で津波が届いた時刻がわかれば、津波の速さから各観測点と波源の距離が求まり、座標と三平方の定理を使って波源の位置を割り出せます。この技能では、2 つの観測点の到達時刻から波源の位置を求め、海岸線で最も早く津波が届く地点と、そこへの到達時間を求めます。
なぜそうしてよいのか
水深 が一様な海では、津波の速さ はどこでも同じなので、津波は波源から円形に広がります。波源から観測点までの津波の到達時間を とすると、波源と観測点の距離は です。つまり、観測点ごとに「波源はこの観測点を中心とする半径 の円の上にある」ことがわかります。
海岸線を 軸、海側を とする座標を置き、観測点 A を原点、観測点 B を とします。波源を とすると、2 点間の距離の式から
が成り立ちます。2 式を引くと が消えて についての 1 次式になるので が求まり、それを代入すると が求まります。 は の 2 つが出ますが、波源は海にあるので の方を選びます。
海岸線（ 軸）上の点 と波源の距離は で、 のときに最小値 をとります。つまり、波源から海岸線に下ろした垂線の足 が、最も早く津波が届く地点で、そこへの到達時間は です。
手順
水深から津波の速さ を求める。
各観測点の到達時間 から、波源までの距離 を求める。
海岸線を 軸、海側を とし、観測点 A を原点、B を とする座標を置き、波源を として 、 を立てる。
2 式を引いて を求め、代入して を求める（海側なので ）。
最も早く津波が届く海岸の地点は で、到達時間は として求める。
例題
まっすぐな海岸線上に、観測点 A と観測点 B が 147 km 離れて並んでいる。沖合の 1 点で発生した津波は、発生から A に 500 秒後、B に 850 秒後に到達した。海の水深は一様に 2000 m とみなし、重力加速度の大きさを とする。この海岸線上で津波が最も早く到達する地点には、津波の発生から何秒後に到達するか。整数で求めよ。
例題の解答
手順 1: 津波の速さは 。
手順 2: 波源までの距離は
手順 3: 海岸線を 軸（海側を ）、A を原点、B を とし、波源を （単位 km）とすると
手順 4: 2 式を引くと 、すなわち より 。これを代入して 、 より 。
手順 5: 最も早く到達する地点は波源から海岸線に下ろした垂線の足 で、波源からの距離は 56 km。到達時間は
答え:
よくある誤り
最も早く津波が届く地点を、到達時刻が早い観測点 A としてしまい、答えを 500 秒とする誤り。正しくは海岸線上で波源に最も近いのは垂線の足 で、到達時間は 秒。
波源の位置を AB の中点のように、到達時間の比で AB を内分した点の真上と考えてしまう誤り（例えば km）。正しくは と を連立して km を求める。
連立方程式で を求めたあと、 も波源として残してしまう誤り。波源は海の中にあるので、海側を と決めた座標では だけをとる。
km と m を混ぜて距離を計算してしまう誤り。例えば m/s のまま を 70000 km としてしまう。正しくは m km として単位をそろえる。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。