図形と方程式の問題

直線のおき方 $y$ 軸に平行な直線 $x=c$ は放物線 $P$ と必ず 1 点で交わるが接しないので、求める直線は $y=mx+n$ とおける。

放物線に接する条件 $x^2+1=mx+n$ すなわち $x^2-mx+1-n=0$ が重解をもつので
$$m^2-4(1-n)=0⟺m^2=4-4n.(1)$$

円に接する条件 円の中心 $(0,0)$ と直線 $mx-y+n=0$ の距離が半径 $1$ に等しいので
$$\frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}}=1⟺n^2=m^2+1.(2)$$

連立 $(1)$ を $(2)$ に代入して
$$n^2=5-4n⟺n^2+4n-5=0⟺(n-1)(n+5)=0.$$
- $n=1$ のとき $(1)$ より $m^2=0$、$m=0$。直線 $y=1$。
- $n=-5$ のとき $(1)$ より $m^2=24$、$m=\pm 2\sqrt{6}$。直線 $y=2\sqrt{6}x-5$, $y=-2\sqrt{6}x-5$。

よって共通接線は
$$y=1,y=2\sqrt{6}x-5,y=-2\sqrt{6}x-5$$
の 3 本である。

三角形の頂点
- $y=2\sqrt{6}x-5$ と $y=-2\sqrt{6}x-5$ の交点: $(0,-5)$
- $y=1$ と $y=2\sqrt{6}x-5$ の交点: $2\sqrt{6}x=6$ より $x=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$、点 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2},1\right)$
- $y=1$ と $y=-2\sqrt{6}x-5$ の交点: $\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},1\right)$

面積 底辺は $y=1$ 上の 2 点間の長さ $\sqrt{6}$、高さは $1-(-5)=6$ なので
$$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}\cdot 6=3\sqrt{6}.$$

放物線 $y=x^2+1$ 上の点 $(t,t^2+1)$ における接線は $y=2tx-t^2+1$、すなわち $2tx-y+1-t^2=0$。これが円 $x^2+y^2=1$（原点中心、半径 1）に接する条件は
$$\frac{|1-t^2|}{\sqrt{4t^2+1}}=1.$$
2 乗して $(1-t^2{)}^2=4t^2+1$、$t^4-6t^2=0$、よって $t=0$ または $t=\pm \sqrt{6}$。

接線は
- $t=0$: $y=1$
- $t=\sqrt{6}$: $y=2\sqrt{6}x-5$
- $t=-\sqrt{6}$: $y=-2\sqrt{6}x-5$

の 3 本（確かにちょうど 3 本）。

頂点: 後ろ 2 本の交点は $(0,-5)$。$y=1$ との交点は $2\sqrt{6}x-5=1$ より $x=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ で、$\left(\pm \frac{\sqrt{6}}{2},1\right)$。

底辺（$y=1$ 上）の長さ $\sqrt{6}$、高さ $1-(-5)=6$。面積は $\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}\cdot 6=3\sqrt{6}$。

検算: $t=\sqrt{6}$ のとき原点から $2\sqrt{6}x-y-5=0$ までの距離は $\frac{5}{\sqrt{24+1}}=1$ ✓。