図形と方程式の問題

円 C 平方完成すると $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$ なので、$C$ は中心 $(2,2)$、半径 $2$ の円で、$x$ 軸・$y$ 軸の両方に接している。

接線の条件 $\mathrm{A}(a,0)$, $\mathrm{B}(0,b)$（$a>0$, $b>0$）とおくと、$\ell$ の方程式は
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\text{すなわち}bx+ay-ab=0$$
$\ell$ が $C$ に接する条件は、中心 $(2,2)$ と $\ell$ の距離が $2$ であること:
$$\frac{|2b+2a-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$$

円 $C$ が三角形 OAB の内部にあるとき、中心 $(2,2)$ は原点と同じ側（$bx+ay-ab<0$ の側）にあるので $2a+2b-ab<0$。よって
$$ab-2a-2b=2\sqrt{a^2+b^2}(\ast )$$

ここで $\mathrm{AB}=\sqrt{a^2+b^2}$ である。$C$ は直角三角形 OAB の 3 辺に接するので内接円であり、O から $x$ 軸・$y$ 軸上の接点 $(2,0)$, $(0,2)$ までの長さが $2$ であることから、接線の長さの性質より
$$\mathrm{AB}=(a-2)+(b-2)=a+b-4$$
が成り立つ。これを $(\ast )$ に代入すると $ab-2a-2b=2(a+b-4)$、すなわち
$$ab-4a-4b+8=0⟺(a-4)(b-4)=8$$

$a,b$ の範囲 $(a-4)(b-4)=8>0$ より、$a-4$ と $b-4$ は同符号である。もし $a<4$ かつ $b<4$ なら、$\mathrm{AB}=a+b-4<a$ となるが、直角三角形の斜辺 $\mathrm{AB}$ は $\mathrm{OA}=a$ より長いので矛盾する。よって $a>4$, $b>4$。

最小値 $u=a-4>0$, $v=b-4>0$ とおくと $uv=8$ で
$$\mathrm{AB}=a+b-4=u+v+4$$
相加平均と相乗平均の関係より
$$u+v\geqq 2\sqrt{uv}=2\sqrt{8}=4\sqrt{2}$$
等号は $u=v=2\sqrt{2}$ のとき成り立つ。よって $\mathrm{AB}\geqq 4+4\sqrt{2}$。

（確認）$a=b=4+2\sqrt{2}$ のとき $\ell :x+y=4+2\sqrt{2}$。中心 $(2,2)$ との距離は $\frac{|4-(4+2\sqrt{2})|}{\sqrt{2}}=2$ で確かに接し、中心は原点側にある。このとき $\mathrm{AB}=\sqrt{2}(4+2\sqrt{2})=4\sqrt{2}+4$。

したがって、線分 AB の長さの最小値は $4+4\sqrt{2}$。

$C:(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=4$、中心 $(2,2)$、半径 $2$（両座標軸に接する）。

$\mathrm{A}(p,0)$, $\mathrm{B}(0,q)$ $(p,q>0)$ とし、$\ell :qx+py-pq=0$、$L=\mathrm{AB}=\sqrt{p^2+q^2}$。

円が $△\mathrm{OAB}$ の内部にあり、$x$ 軸・$y$ 軸・$\ell$ のすべてに接するので、$C$ は $△\mathrm{OAB}$ の内接円である。直角三角形の内接円の半径は $\frac{p+q-L}{2}$ であるから $\frac{p+q-L}{2}=2$、すなわち $p+q=L+4$。

また $L^2=p^2+q^2=(p+q{)}^2-2pq$ より $pq=\frac{(L+4{)}^2-L^2}{2}=4L+8$。

$p,q$ は $t^2-(L+4)t+(4L+8)=0$ の正の実数解であるから、判別式 $(L+4{)}^2-4(4L+8)\geqq 0$。
$L^2-8L-16\geqq 0$ より $L\geqq 4+4\sqrt{2}$（$L>0$）。

等号は $p=q=\frac{L+4}{2}=4+2\sqrt{2}$ のとき。このとき $L=\sqrt{2}p=4\sqrt{2}+4$ ✓。接線は $x+y=p$ で、中心 $(2,2)$ との距離は $\frac{|4-p|}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$ で接し、円は三角形の内部にある。

よって最小値は $4+4\sqrt{2}$。