この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

電子回路・半導体デバイスの問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電子回路・半導体デバイス

次のような LC 低域通過フィルタの回路を考える。

起電力 $v_{s}$ （角周波数 $ω$ の正弦波）、内部抵抗 $R_{s} = 1.0 kΩ$ の信号源がある。信号源の一方の端子（端子 P とする）から、自己インダクタンス $L = 10 mH$ のコイルを直列につないで点 Q に至る。点 Q と信号源のもう一方の端子（接地側、端子 G とする）とのあいだに、静電容量 $C = 10 nF$ のコンデンサーと負荷抵抗 $R_{L} = 1.0 kΩ$ を並列に接続する。つまり、信号源の内部抵抗 $R_{s}$ → コイル $L$ の順に直列につながり、その後ろに $C$ と $R_{L}$ の並列回路が端子 G との間に入っている。これ以外の素子・接続はない。

負荷抵抗の両端の電圧（端子 G を基準とした点 Q の電圧）を $v_{out}$ とし、複素電圧伝達関数を $H (ω) = V_{out} / V_{s}$ とする（ $V_{s}$ , $V_{out}$ はそれぞれ $v_{s}$ , $v_{out}$ の複素振幅）。

$∣ H (ω) ∣$ が直流（ $ω \to 0$ ）での値の $\frac{1}{2}$ 倍になる正の角周波数（遮断角周波数） $ω_{c}$ は何 $rad/s$ か。根号を用いた正確な値で求めよ。ただし、コイル・コンデンサーは理想的な素子（抵抗分なし）、導線の抵抗は無視し、正弦波の定常状態を考える。

P

Q

G

v_{s}

R_{s}

L

C

R_{L}

v_{out}

この問題で使うもの

2 次フィルタの周波数特性（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$C$ と $R_{L}$ の並列インピーダンスを求め、 $R_{s}$ ・ $L$ との分圧で $H (ω)$ を表そう。

ヒント 2

数値を見ると $R_{s} = R_{L} = R$ かつ $L = C R^{2}$ になっている。 $x = ω C R$ とおくと式が簡単になる。

ヒント 3

$H = \frac{1}{2 - x ^{2} + 2 j x}$ となり、 $∣ H ∣^{2} = \frac{1}{x ^{4} + 4}$ 。直流での値 $\frac{1}{4}$ と比べよう。

答えと解説

答えを見る

2 \times 1 0^{5}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

伝達関数

コンデンサーと負荷抵抗の並列インピーダンスは
$Z_{p} = \frac{R _{L} \cdot \frac{1}{j ω C}}{R _{L} + \frac{1}{j ω C}} = \frac{R _{L}}{1 + j ω C R _{L}}$
信号源から見ると $R_{s}$ 、 $j ω L$ 、 $Z_{p}$ の直列回路なので、分圧より
$H = \frac{Z _{p}}{R _{s} + j ω L + Z _{p}} = \frac{R _{L}}{( R _{s} + j ω L ) ( 1 + j ω C R _{L} ) + R _{L}}$
分母を展開すると
$(R_{s} + R_{L} - ω^{2} L C R_{L}) + j ω (C R_{s} R_{L} + L)$

数値の関係

$R_{s} = R_{L} = R = 1.0 \times 1 0^{3} Ω$ とおくと、 $C R^{2} = 10 \times 1 0^{- 9} \times 1 0^{6} = 1.0 \times 1 0^{- 2} H = L$ が成り立っている。そこで $τ = C R = 1.0 \times 1 0^{- 5} s$ 、 $x = ω τ$ とおくと、 $ω^{2} L C R = ω^{2} C^{2} R^{2} \cdot R = R x^{2}$ 、 $ω (C R^{2} + L) = 2 ω C R^{2} = 2 R x$ なので
$H = \frac{R}{R ( 2 - x ^{2} ) + j 2 R x} = \frac{1}{2 - x ^{2} + 2 j x}$

大きさ
$∣ H ∣^{2} = \frac{1}{( 2 - x ^{2} ) ^{2} + 4 x ^{2}} = \frac{1}{4 - 4 x ^{2} + x ^{4} + 4 x ^{2}} = \frac{1}{x ^{4} + 4}$
直流（ $x = 0$ ）では $∣ H ∣^{2} = \frac{1}{4}$ 。 $∣ H ∣$ は $x > 0$ で単調に減少するので、 $∣ H ∣^{2}$ が $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ になる正の $x$ はただ 1 つで
$x^{4} + 4 = 8, x^{4} = 4, x = 2$
（この回路は 2 次のバターワース特性 $∣ H ∣^{2} \propto 1/ (1 + (x / 2)^{4})$ をもつ。）

よって
$ω_{c} = \frac{2}{τ} = \frac{2}{1.0 \times 1 0 ^{- 5}} = 2 \times 1 0^{5} rad/s$

別解

$C$ と $R_{L}$ の並列インピーダンスは $Z_{p} = \frac{R _{L}}{1 + j ω C R _{L}}$ 。分圧より $H = \frac{Z _{p}}{R _{s} + j ω L + Z _{p}} = \frac{R _{L}}{( R _{s} + j ω L ) ( 1 + j ω C R _{L} ) + R _{L}}$ 。
分母は $D = (R_{s} + R_{L}) + j ω (L + R_{s} R_{L} C) - ω^{2} L R_{L} C$ 。
数値: $R_{s} + R_{L} = 2000 Ω$ 、 $L + R_{s} R_{L} C = 0.010 + 1 0^{6} \times 1 0^{- 8} = 0.020 s \cdot Ω$ 、 $L R_{L} C = 0.010 \times 1000 \times 1 0^{- 8} = 1 0^{- 7}$ 。
$ω \to 0$ で $∣ H ∣ = R_{L} / (R_{s} + R_{L}) = 1/2$ 。遮断条件は $∣ D ∣^{2} = 2 \times 200 0^{2} = 8 \times 1 0^{6}$ 。
$(2000 - 1 0^{- 7} ω^{2})^{2} + (0.02 ω)^{2} = 4 \times 1 0^{6} - 4 \times 1 0^{- 4} ω^{2} + 1 0^{- 14} ω^{4} + 4 \times 1 0^{- 4} ω^{2} = 4 \times 1 0^{6} + 1 0^{- 14} ω^{4}$ 。
これが $8 \times 1 0^{6}$ に等しいので $1 0^{- 14} ω^{4} = 4 \times 1 0^{6}$ 、 $ω^{4} = 4 \times 1 0^{20}$ 、 $ω^{2} = 2 \times 1 0^{10}$ 、 $ω_{c} = 2 \times 1 0^{5} \approx 1.41 \times 1 0^{5} rad/s$ 。
検算: $ω^{2} = 2 \times 1 0^{10}$ のとき実部 $2000 - 2000 = 0$ 、虚部 $0.02 \times 1.4142 \times 1 0^{5} = 2828.4$ 、 $∣ D ∣ = 2828.4 = 20002$ で $∣ H ∣ = 1000/2828.4 = 1/ (22)$ 、直流値の $1/ 2$ 倍に一致。

電子回路・半導体デバイスの問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題