図形と計量の問題

$a=\mathrm{BC}=7$, $b=\mathrm{CA}$, $c=\mathrm{AB}$ とし、外接円の半径を $R$、内接円の半径を $r$、三角形の面積を $S$ とする。

角 A の決定
正弦定理より $\frac{a}{\sin A}=2R$ なので
$$\sin A=\frac{7}{2\cdot \frac{7\sqrt{3}}{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
$0^{\circ }<A<180^{\circ }$ より $A=60^{\circ }$ または $A=120^{\circ }$ である。

面積の 2 通りの表し方
$p=b+c$, $q=bc$ とおく。内接円の半径を用いると $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)=\frac{\sqrt{3}}{2}(7+p)$。一方、どちらの場合も $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{\sqrt{3}}{4}q$。よって
$$\frac{\sqrt{3}}{4}q=\frac{\sqrt{3}}{2}(7+p)\text{すなわち}q=2p+14.(1)$$

(i) $A=120^{\circ }$ の場合
余弦定理より $49=b^2+c^2+bc=p^2-q$。$(1)$ を代入して $49=p^2-2p-14$、すなわち $p^2-2p-63=0$、$(p-9)(p+7)=0$。$p>0$ より $p=9$, $q=32$。このとき $b,c$ は $t^2-9t+32=0$ の 2 解であるが、判別式は $81-128=-47<0$ で実数解をもたない。よってこの場合の三角形は存在しない。

(ii) $A=60^{\circ }$ の場合
余弦定理より $49=b^2+c^2-bc=p^2-3q$。$(1)$ を代入して $49=p^2-6p-42$、すなわち $p^2-6p-91=0$、$(p-13)(p+7)=0$。$p>0$ より $p=13$, $q=40$。$b,c$ は $t^2-13t+40=0$、すなわち $(t-5)(t-8)=0$ の解であり、$\{b,c\}=\{5,8\}$。辺の長さ $5,7,8$ は三角形の成立条件を満たすので、この三角形は存在する。このとき $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 40=10\sqrt{3}$ である（確認：$r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{20\sqrt{3}}{20}=\sqrt{3}$ で条件に合う）。

AD の長さ
$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CAD}=30^{\circ }$ であり、$△\mathrm{ABD}+△\mathrm{ACD}=△\mathrm{ABC}$ より
$$\frac{1}{2}c\cdot \mathrm{AD}\sin 30^{\circ }+\frac{1}{2}b\cdot \mathrm{AD}\sin 30^{\circ }=10\sqrt{3}.$$
$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $b+c=13$ より $\frac{13}{4}\mathrm{AD}=10\sqrt{3}$。したがって
$$\mathrm{AD}=\frac{40\sqrt{3}}{13}.$$
（$b,c$ のどちらが $5$ でも結果は同じである。）

正弦定理より $\sin A=\frac{a}{2R}=\frac{7}{2\cdot 7\sqrt{3}/3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$A=60^{\circ }$ または $120^{\circ }$。

内接円の半径について $r=(s-a)\tan \frac{A}{2}$ が成り立つ（$s$ は半周長）。

・$A=120^{\circ }$ のとき:$s-a=\sqrt{3}/\sqrt{3}=1$ より $s=8$、$b+c=9$。余弦定理 $49=b^2+c^2+bc=(b+c{)}^2-bc=81-bc$ より $bc=32$。しかし $b+c=9,bc=32$ を満たす実数 $b,c$ は、判別式 $81-128<0$ のため存在しない。よって不適。

・$A=60^{\circ }$ のとき:$s-a=\sqrt{3}/\tan 30^{\circ }=3$ より $s=10$、$b+c=13$。余弦定理 $49=b^2+c^2-bc=(b+c{)}^2-3bc=169-3bc$ より $bc=40$。よって $\{b,c\}=\{5,8\}$。

検算:面積は $\frac{1}{2}\cdot 40\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$。一方 $rs=\sqrt{3}\cdot 10=10\sqrt{3}$ で一致する。

角の二等分線の長さは、面積の関係 $\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}b\cdot AD\sin \frac{A}{2}+\frac{1}{2}c\cdot AD\sin \frac{A}{2}$ から
$AD=\frac{2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}=\frac{2\cdot 40\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{13}=\frac{40\sqrt{3}}{13}$。